Álgebra Ejemplos

$\frac{\frac{2}{x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{\frac{3}{x + 3} - \frac{4 x}{x^{2} - 9}}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\frac{2}{x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{\frac{3}{x + 3} - \frac{4 x}{x^{2} - 9}}$ por $\frac{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)}$ .

$\frac{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{\frac{3}{x + 3} - \frac{4 x}{x^{2} - 9}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (\frac{2}{x - 3} + \frac{3 x}{x^{2} - 9})}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (\frac{3}{x + 3} - \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{2}{x - 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{2}{x - 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2} - 9$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2} - 9$ de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{3 x}{x^{2} - 9}}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x + 3$ de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9)) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x + 3) ((x - 3) (x^{2} - 9)) \frac{3}{x + 3} + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) (- \frac{4 x}{x^{2} - 9})}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $x^{2} - 9$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 x}{x^{2} - 9}$ al numerador.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3) \frac{- 4 x}{x^{2} - 9}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $x^{2} - 9$ de $(x - 3) (x^{2} - 9) (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{- 4 x}{x^{2} - 9}}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{- 4 x}{x^{2} - 9}}$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $x + 3$ de $(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2 + (x - 3) (x + 3) (3 x)$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x + 3$ de $(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2$ .

$\frac{(x + 3) ((x^{2} - 9) \cdot 2) + (x - 3) (x + 3) (3 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x + 3$ de $(x - 3) (x + 3) (3 x)$ .

$\frac{(x + 3) ((x^{2} - 9) \cdot 2) + (x + 3) ((x - 3) (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x + 3$ de $(x + 3) ((x^{2} - 9) \cdot 2) + (x + 3) ((x - 3) (3 x))$ .

$\frac{(x + 3) ((x^{2} - 9) \cdot 2 + (x - 3) (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (x^{2} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + (x - 3) (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (2 \cdot x^{2} - 9 \cdot 2 + (x - 3) (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.4

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{(x + 3) (2 \cdot x^{2} - 18 + (x - 3) (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (2 x^{2} - 18 + x (3 x) - 3 (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(x + 3) (2 x^{2} - 18 + 3 x \cdot x - 3 (3 x))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{(x + 3) (2 x^{2} - 18 + 3 x \cdot x - 9 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{(x + 3) (2 x^{2} - 18 + 3 (x \cdot x) - 9 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(x + 3) (2 x^{2} - 18 + 3 x^{2} - 9 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.9

Suma $2 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (5 x^{2} - 18 - 9 x)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.10

Reordena los términos.

$\frac{(x + 3) (5 x^{2} - 9 x - 18)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 18 = - 90$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 4.11.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$\frac{(x + 3) (5 x^{2} - 9 (x) - 18)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.11.1.2

Reescribe $- 9$ como $6$ más $- 15$

$\frac{(x + 3) (5 x^{2} + (6 - 15) x - 18)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (5 x^{2} + 6 x - 15 x - 18)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) - 15 x - 18)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x + 3) (x (5 x + 6) - 3 (5 x + 6))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 4.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 6$ .

$\frac{(x + 3) ((5 x + 6) (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3 + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (x^{2} - 9) \cdot 3$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) ((x^{2} - 9) \cdot 3) + (x - 3) (x + 3) (- 4 x)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (x + 3) (- 4 x)$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) ((x^{2} - 9) \cdot 3) + (x - 3) ((x + 3) (- 4 x))}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) ((x^{2} - 9) \cdot 3) + (x - 3) ((x + 3) (- 4 x))$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) ((x^{2} - 9) \cdot 3 + (x + 3) (- 4 x))}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} \cdot 3 - 9 \cdot 3 + (x + 3) (- 4 x))}$

Paso 5.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 \cdot x^{2} - 9 \cdot 3 + (x + 3) (- 4 x))}$

Paso 5.4

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 \cdot x^{2} - 27 + (x + 3) (- 4 x))}$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 x^{2} - 27 + x (- 4 x) + 3 (- 4 x))}$

Paso 5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 x^{2} - 27 - 4 x \cdot x + 3 (- 4 x))}$

Paso 5.7

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 x^{2} - 27 - 4 x \cdot x - 12 x)}$

Paso 5.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 x^{2} - 27 - 4 (x \cdot x) - 12 x)}$

Paso 5.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (3 x^{2} - 27 - 4 x^{2} - 12 x)}$

Paso 5.9

Resta $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x^{2} - 27 - 12 x)}$

Paso 5.10

Reordena los términos.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x^{2} - 12 x - 27)}$

Paso 5.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 27 = 27$ y cuya suma es $b = - 12$ .

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Paso 5.11.1.1

Factoriza $- 12$ de $- 12 x$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x^{2} - 12 (x) - 27)}$

Paso 5.11.1.2

Reescribe $- 12$ como $- 3$ más $- 9$

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x^{2} + (- 3 - 9) x - 27)}$

Paso 5.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x^{2} - 3 x - 9 x - 27)}$

Paso 5.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) ((- x^{2} - 3 x) - 9 x - 27)}$

Paso 5.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (x (- x - 3) + 9 (- x - 3))}$

Paso 5.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) ((- x - 3) (x + 9))}$

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6) (x - 3)}{(x - 3) (- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 3) (5 x + 6)}{(- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 3$ y $- x - 3$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 3) (5 x + 6)}{(- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6.2.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 3)) (5 x + 6)}{(- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- 1 (- x - 3) (5 x + 6)}{(- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x - 3) (5 x + 6)}{(- x - 3) (x + 9)}$

Paso 6.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (5 x + 6)}{x + 9}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x + 6}{x + 9}$