Álgebra Ejemplos

$5 (\frac{5 + k}{2}) - 4 = {(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k (\frac{5 + k}{2})$

Paso 1

Como $k$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2

Simplifica ${(\frac{5 + k}{2})}^{2} - k \frac{5 + k}{2}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{2^{2}} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - k \frac{5 + k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{5 + k}{2}$ y $k$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{(5 + k) k}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k}{2} \cdot \frac{2}{2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{(5 + k) k}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{2 \cdot 2} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(5 + k)}^{2}}{4} - \frac{(5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $5 + k$ de ${(5 + k)}^{2} - (5 + k) k \cdot 2$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $5 + k$ de ${(5 + k)}^{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) - (5 + k) k \cdot 2}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $5 + k$ de $- (5 + k) k \cdot 2$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $5 + k$ de $(5 + k) (5 + k) + (5 + k) (- 1 k \cdot 2)$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 1 k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.5.2

Reescribe $- 1 k$ como $- k$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - k \cdot 2)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(5 + k) (5 + k - 2 k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 2.5.4

Resta $2 k$ de $k$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = 5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$

Paso 3

Simplifica $5 (\frac{5 + k}{2}) - 4$ .

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Paso 3.1

Combina $5$ y $\frac{5 + k}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4$

Paso 3.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k)}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 (5 + k) - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 \cdot 5 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.4.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{25 + 5 k - 8}{2}$

Paso 3.4.4

Resta $8$ de $25$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} = \frac{5 k + 17}{2}$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan $k$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $\frac{5 k + 17}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} = 0$

Paso 4.2

Para escribir $- \frac{5 k + 17}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{5 k + 17}{2} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{5 k + 17}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{2 \cdot 2} = 0$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(5 + k) (5 - k)}{4} - \frac{(5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(5 + k) (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Expande $(5 + k) (5 - k)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (5 - k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k (5 - k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{25 + 5 (- k) + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{25 - 5 k + k \cdot 5 + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 \cdot k + k (- k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k \cdot k - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.1.5

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.2.1.5.1

Mueve $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - (k \cdot k) - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.1.5.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{25 - 5 k + 5 k - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.2

Suma $- 5 k$ y $5 k$ .

$\frac{25 + 0 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.2.3

Suma $25$ y $0$ .

$\frac{25 - k^{2} - (5 k + 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{25 - k^{2} + (- (5 k) - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 1 \cdot 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.5

Multiplica $- 1$ por $17$ .

$\frac{25 - k^{2} + (- 5 k - 17) \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{25 - k^{2} - 5 k \cdot 2 - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.7

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 17 \cdot 2}{4} = 0$

Paso 4.5.8

Multiplica $- 17$ por $2$ .

$\frac{25 - k^{2} - 10 k - 34}{4} = 0$

Paso 4.5.9

Resta $34$ de $25$ .

$\frac{- k^{2} - 10 k - 9}{4} = 0$

Paso 4.5.10

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 4.5.10.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 k$ .

$\frac{- k^{2} - 10 (k) - 9}{4} = 0$

Paso 4.5.10.1.2

Reescribe $- 10$ como $- 1$ más $- 9$

$\frac{- k^{2} + (- 1 - 9) k - 9}{4} = 0$

Paso 4.5.10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- k^{2} - 1 k - 9 k - 9}{4} = 0$

Paso 4.5.10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- k^{2} - 1 k) - 9 k - 9}{4} = 0$

Paso 4.5.10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{k (- k - 1) + 9 (- k - 1)}{4} = 0$

Paso 4.5.10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- k - 1$ .

$\frac{(- k - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- k$ .

$\frac{(- (k) - 1) (k + 9)}{4} = 0$

Paso 4.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (k) - 1 (1)) (k + 9)}{4} = 0$

Paso 4.8

Factoriza $- 1$ de $- (k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Paso 4.9

Reescribe $- (k + 1)$ como $- 1 (k + 1)$ .

$\frac{- 1 (k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(k + 1) (k + 9)}{4} = 0$

Paso 5

Establece el numerador igual a cero.

$(k + 1) (k + 9) = 0$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $k$ .

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$k + 1 = 0$

$k + 9 = 0$

Paso 6.2

Establece $k + 1$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 6.2.1

Establece $k + 1$ igual a $0$ .

$k + 1 = 0$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$k = - 1$

Paso 6.3

Establece $k + 9$ igual a $0$ y resuelve $k$ .

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Paso 6.3.1

Establece $k + 9$ igual a $0$ .

$k + 9 = 0$

Paso 6.3.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$k = - 9$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(k + 1) (k + 9) = 0$ verdadera.

$k = - 1, - 9$