Álgebra Ejemplos

$x^{6} - 4 x^{4} - 8 x^{4} + 32 x^{2} + 16 x^{2} - 64$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$x^{2} x^{4} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 8 x^{4}$ .

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 2.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 2.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 4$ .

$x^{2} {(u - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 2^{2})}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x^{2} {((x + 2) (x - 2))}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$x^{2} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Paso 10

Factoriza $4$ de $- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$ .

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Paso 10.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{4}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 32 x^{2} - 64$

Paso 10.2

Factoriza $4$ de $32 x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) - 64$

Paso 10.3

Factoriza $4$ de $- 64$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Paso 10.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2})$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Paso 10.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2} - 16)$

Paso 11

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 16)$

Paso 12

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 u - 16)$

Paso 13

Factoriza por agrupación.

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Paso 13.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 13.1.1

Factoriza $8$ de $8 u$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 (u) - 16)$

Paso 13.1.2

Reescribe $8$ como $4$ más $4$

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + (4 + 4) u - 16)$

Paso 13.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 4 u + 4 u - 16)$

Paso 13.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u^{2} + 4 u) + 4 u - 16)$

Paso 13.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (u (- u + 4) - 4 (- u + 4))$

Paso 13.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 4$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u + 4) (u - 4))$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 4) (x^{2} - 4))$

Paso 15

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} - 4))$

Paso 16

Reordena $- x^{2}$ y $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} - 4))$

Paso 17

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 4))$

Paso 18

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 2^{2}))$

Paso 19

Factoriza.

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Paso 19.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) ((x + 2) (x - 2)))$

Paso 19.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Paso 20

Factoriza.

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Paso 20.1

Combina exponentes.

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Paso 20.1.1

Reordena los términos.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((x + 2) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Paso 20.1.2

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Paso 20.1.3

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (2 - x) (x - 2))$

Paso 20.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1 + 1} (2 - x) (x - 2))$

Paso 20.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (2 - x) (x - 2))$

Paso 20.1.6

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - x) (x - 2))$

Paso 20.1.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - (x)) (x - 2))$

Paso 20.1.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2 + x)) (x - 2))$

Paso 20.1.9

Elimina los paréntesis.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (- 2 + x) (x - 2))$

Paso 20.1.10

Reordena los términos.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (x - 2) (x - 2))$

Paso 20.1.11

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)))$

Paso 20.1.12

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}))$

Paso 20.1.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1})$

Paso 20.1.14

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2})$

Paso 20.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 {(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}$

Paso 21

Combina exponentes.

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Paso 21.1

Factoriza el negativo.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - (4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Paso 21.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Paso 22

Elimina los paréntesis.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Paso 23

Factoriza ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ de $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 23.1

Factoriza ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ de $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Paso 23.2

Factoriza ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ de $- 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$

Paso 23.3

Factoriza ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ de ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 4)$

Paso 24

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 2^{2})$

Paso 25

Factoriza.

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Paso 25.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} ((x + 2) (x - 2))$

Paso 25.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)$

Paso 26

Combina exponentes.

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Paso 26.1

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

${(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Paso 26.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 2)}^{1 + 2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Paso 26.3

Suma $1$ y $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Paso 26.4

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

${(x + 2)}^{3} ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2})$

Paso 26.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{1 + 2}$

Paso 26.6

Suma $1$ y $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$