Álgebra Ejemplos

$\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((w + 12) w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{8} (w \cdot w + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Paso 1.3

Multiplica $w$ por $w$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El logaritmo en base $8$ de $4$ es $\frac{2}{3}$ .

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 3 \cdot \frac{2}{3}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$

Paso 3

Reescribe $\log_{8} (w^{2} + 12 w) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{2} = w^{2} + 12 w$

Paso 4

Resuelve $w$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $w^{2} + 12 w = 8^{2}$ .

$w^{2} + 12 w = 8^{2}$

Paso 4.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$w^{2} + 12 w = 64$

Paso 4.3

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$w^{2} + 12 w - 64 = 0$

Paso 4.4

Factoriza $w^{2} + 12 w - 64$ con el método AC.

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Paso 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 64$ y cuya suma es $12$ .

$- 4, 16$

Paso 4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(w - 4) (w + 16) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$w - 4 = 0$

$w + 16 = 0$

Paso 4.6

Establece $w - 4$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 4.6.1

Establece $w - 4$ igual a $0$ .

$w - 4 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 4$

Paso 4.7

Establece $w + 16$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 4.7.1

Establece $w + 16$ igual a $0$ .

$w + 16 = 0$

Paso 4.7.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$w = - 16$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(w - 4) (w + 16) = 0$ verdadera.

$w = 4, - 16$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{8} (w + 12) + \log_{8} (w) = 3 \cdot \log_{8} (4)$ sea verdadera.

$w = 4$