Álgebra Ejemplos

$\cos^{2} (2 x) = \sin^{2} (x)$

Paso 1

Resta $\sin^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (2 x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (2 x) + \sin (x)) (\cos (2 x) - \sin (x)) = 0$

Paso 2.2

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)) (\cos (2 x) - \sin (x)) = 0$

Paso 2.3

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Paso 2.4

Expande $(1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x))$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (- \sin (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (- \sin (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 2 \sin^{2} (x)$ por $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 1 (- \sin (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.6

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.6.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.6.3

Suma $2$ y $2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{4} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.8

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.8.1

Mueve $\sin (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.8.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.5.1.8.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.10

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.12

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.12.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.12.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 2.5.1.12.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.12.3

Suma $2$ y $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.13

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin (x) \sin (x) = 0$

Paso 2.5.1.14

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 2.5.1.14.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.14.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Paso 2.5.1.14.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Paso 2.5.1.14.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina los términos opuestos en $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) + \sin (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Suma $1 - 2 \sin^{2} (x)$ y $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{3} (x) - 2 \sin^{3} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5.2.1.3

Resta $2 \sin^{3} (x)$ de $2 \sin^{3} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) + 0 - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5.2.1.4

Suma $1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$ y $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Paso 2.5.2.3

Resta $\sin^{2} (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 5 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $1 - 5 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

$4 \sin^{4} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 3.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 3.1.2.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$4 \sin^{4} (x) + (- 1 - 4) \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sin^{4} (x) - 1 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$4 \sin^{4} (x) - 1 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 3.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin^{2} (x) (4 \sin^{2} (x) - 1) - (4 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 \sin^{2} (x) - 1$ .

$(4 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$({(2 \sin (x))}^{2} - 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(2 \sin (x))}^{2} - 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 \sin (x)$ y $b = 1$ .

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Paso 3.6

Factoriza.

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Paso 3.6.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \sin (x)$ y $b = 1$ .

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Paso 3.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 5

Establece $2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 5.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 5.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 5.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 5.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 5.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 5.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.8.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 5.2.8.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 5.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 5.2.9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 \sin (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 6.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 6.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 6.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.2.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 6.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 6.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 7.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 7.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 7.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 7.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 7.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 7.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 7.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Paso 8.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 8.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.2.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 8.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 8.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$