Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42} \geq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 3$

Paso 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Paso 7.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.2.1

Reordena los términos.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Paso 7.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $13$ de $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Paso 7.2.2.2

Reescribe $13$ como $6$ más $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Paso 7.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Paso 7.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Paso 7.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Paso 7.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Paso 8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 9

Establece $- x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $- x + 6$ igual a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $- x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 6$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 9.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 9.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$x = 6$

Paso 10

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 10.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x + 6) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 6, 7$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 6, - 3$

$x = 6, 7$

Paso 13

Consolida las soluciones.

$x = 6, - 3, 6, 7$

Paso 14

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ .

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Paso 14.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x$

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Paso 14.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 14.2.1.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Paso 14.2.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 14.2.1.2.1

Reordena los términos.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Paso 14.2.1.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ y cuya suma es $b = 13$ .

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Paso 14.2.1.2.2.1

Factoriza $13$ de $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Paso 14.2.1.2.2.2

Reescribe $13$ como $6$ más $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Paso 14.2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Paso 14.2.1.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 14.2.1.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Paso 14.2.1.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Paso 14.2.1.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Paso 14.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Paso 14.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 14.2.3

Establece $- x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.2.3.1

Establece $- x + 6$ igual a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Paso 14.2.3.2

Resuelve $- x + 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.3.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 6$

Paso 14.2.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 14.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 14.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 14.2.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Paso 14.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.3.2.2.3.1

Divide $- 6$ por $- 1$ .

$x = 6$

Paso 14.2.4

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.2.4.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 14.2.4.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 14.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x + 6) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = 6, 7$

Paso 14.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 15

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Paso 16

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 16.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 16.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 18}{13 (- 6) - {(- 6)}^{2} - 42} \geq 0$

Paso 16.1.3

$- 0.\overline{230769}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 16.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18}{13 (0) - {(0)}^{2} - 42} \geq 0$

Paso 16.2.3

$0.\overline{428571}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 16.3

Prueba un valor en el intervalo $6 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.3.1

Elije un valor en el intervalo $6 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6.5$

Paso 16.3.2

Reemplaza $x$ con $6.5$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6.5)}^{2} - 3 \cdot 6.5 - 18}{13 (6.5) - {(6.5)}^{2} - 42} \geq 0$

Paso 16.3.3

$19$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 16.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 16.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 16.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{{(10)}^{2} - 3 \cdot 10 - 18}{13 (10) - {(10)}^{2} - 42} \geq 0$

Paso 16.4.3

$- 4.\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 16.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 6$ Verdadero

$6 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 6$ Verdadero

$6 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 17

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 \leq x < 6$ o $6 < x < 7$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 3 \leq x < 6 or 6 < x < 7$

Notación de intervalo:

$[- 3, 6) \cup (6, 7)$

Paso 19