Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ como una ecuación.

$y = \frac{x^{2} - 1}{10}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y^{2} - 1}{10}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2} - 1}{10} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{10} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $10$ .

$10 \frac{y^{2} - 1}{10} = 10 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{y^{2} - 1}{10} = 10 x$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} - 1 = 10 x$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = 10 x + 1$

Paso 3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{10 x + 1}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{10 x + 1}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ y $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\sqrt{10 x + 1}$ .

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Paso 5.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{10 x + 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$10 x + 1 \geq 0$

Paso 5.3.2

Resuelve $x$

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Paso 5.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$10 x \geq - 1$

Paso 5.3.2.2

Divide cada término en $10 x \geq - 1$ por $10$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.2.1

Divide cada término en $10 x \geq - 1$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 1}{10}$

Paso 5.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 1}{10}$

Paso 5.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{10}$

Paso 5.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \geq - \frac{1}{10}$

Paso 5.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- \frac{1}{10}, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ no es igual al rango de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ no es una inversa de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

No hay una inversa

Paso 6