Álgebra Ejemplos

$y = arccsc (5 x + \frac{3}{2})$

Paso 1

Establece el argumento en $arccsc (5 x + \frac{3}{2})$ menor o igual que $- 1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 x + \frac{3}{2} \leq - 1$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$5 x \leq - 1 - \frac{3}{2}$

Paso 2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 x \leq - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 2.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 x \leq \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x \leq \frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 x \leq \frac{- 2 - 3}{2}$

Paso 2.1.5.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$5 x \leq \frac{- 5}{2}$

Paso 2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 x \leq - \frac{5}{2}$

Paso 2.2

Divide cada término en $5 x \leq - \frac{5}{2}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $5 x \leq - \frac{5}{2}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} \leq \frac{- \frac{5}{2}}{5}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} \leq \frac{- \frac{5}{2}}{5}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- \frac{5}{2}}{5}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \leq - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 2.2.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$x \leq \frac{- 5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 2.2.3.2.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$x \leq \frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 2.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$x \leq \frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 2.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$x \leq \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x \leq - \frac{1}{2}$

Paso 3

Establece el argumento en $arccsc (5 x + \frac{3}{2})$ mayor o igual que $1$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 x + \frac{3}{2} \geq 1$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.1.1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$5 x \geq 1 - \frac{3}{2}$

Paso 4.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$5 x \geq \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x \geq \frac{2 - 3}{2}$

Paso 4.1.4

Resta $3$ de $2$ .

$5 x \geq \frac{- 1}{2}$

Paso 4.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 x \geq - \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Divide cada término en $5 x \geq - \frac{1}{2}$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $5 x \geq - \frac{1}{2}$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{- \frac{1}{2}}{5}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{- \frac{1}{2}}{5}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- \frac{1}{2}}{5}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \geq - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x \geq - \frac{1}{5 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$x \geq - \frac{1}{10}$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [- \frac{1}{10}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq - \frac{1}{10}}$

Paso 6

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- \frac{π}{2}, 0) \cup (0, \frac{π}{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, y \neq 0}$

Paso 7

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [- \frac{1}{10}, \infty), {x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq - \frac{1}{10}}$

Rango: $[- \frac{π}{2}, 0) \cup (0, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, y \neq 0}$

Paso 8