Álgebra Ejemplos

$y = x^{2} + 1$ $x^{2} + y^{2} = 1$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $x^{2} + 1$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} + y^{2} = 1$ por $x^{2} + 1$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2} = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$x^{2} + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 1.2.1.2

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2

Resuelve $x$ en $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ .

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Paso 2.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 3 u + 1 = 1$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 3 u + 1 - 1 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.3

Combina los términos opuestos en $u^{2} + 3 u + 1 - 1$ .

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$u^{2} + 3 u + 0 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.3.2

Suma $u^{2} + 3 u$ y $0$ .

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.4

Factoriza $u$ de $u^{2} + 3 u$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.4.2

Factoriza $u$ de $3 u$ .

$u \cdot u + u \cdot 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.4.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot 3$ .

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.6

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.7

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.7.1

Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (u + 3) = 0$ verdadera.

$u = 0, - 3$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.9

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.10

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.11.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.11.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.11.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.11.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.11.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.12

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.13.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 2.13.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.13.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.13.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 2.14

La solución a $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ es $x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} + 1$ por $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(0)}^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Paso 3.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $i \sqrt{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} + 1$ por $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $i \sqrt{3}$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 4.2.1.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $x$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} + 1$ por $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(0)}^{2} + 1$ .

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Paso 5.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $x$ por $i \sqrt{3}$ en cada ecuación.

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Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} + 1$ por $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Paso 6.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $i \sqrt{3}$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- i \sqrt{3}$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = x^{2} + 1$ por $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica ${(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Paso 7.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 7.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.3

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.2.1.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.5.5

Evalúa el exponente.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.1.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 7.2.1.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$y = 1, x = 0$

$y = - 2, x = i \sqrt{3}$

$y = - 2, x = - i \sqrt{3}$

Paso 9