Álgebra Ejemplos

$(a + b - \frac{2 a b}{a + b}) \div (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Paso 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + b) a$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$ por $\frac{(a + b) a}{(a + b) a}$ .

$\frac{(a + b) a}{(a + b) a} \cdot \frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Paso 2.2

Combinar.

$\frac{(a + b) a (a + b - \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a (- \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $a + b$ .

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Paso 4.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 a b}{a + b}$ al numerador.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.1.2

Factoriza $a + b$ de $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) (a) \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + a (- 2 a b)}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.2

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.3

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a^{1}) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{1 + 1} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $a + b$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $a + b$ de $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) (a) \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $a$ de $(a + b) a$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Paso 4.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Paso 4.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $a^{2}$ de $(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $a^{2}$ de $(a + b) a \cdot a$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.1.2

Factoriza $a^{2}$ de $(a + b) a b$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.1.3

Factoriza $a^{2}$ de $- 2 a^{2} b$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.1.4

Factoriza $a^{2}$ de $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b)$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.1.5

Factoriza $a^{2}$ de $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)$ .

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b - 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 5.2.1.1

Reordena los términos.

$\frac{a^{2} (- 2 b + a \cdot a^{- 1} (a + b) + b a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.1.2

Reordena $a \cdot a^{- 1} (a + b)$ y $b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b + b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $1$ de $b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b + 1 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.1.4

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$\frac{a^{2} (- 2 b + (- 1 + 2) (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 (b a^{- 1} (a + b)) + 2 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.2

Combina exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $a$ por $a^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $a$ por $a^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1} a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1 - 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.2.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{0} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica $a^{0}$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + 1 (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $a + b$ por $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a + b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.3

Suma $- 2 b$ y $b$ .

$\frac{a^{2} (- b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.4

Suma $- 1 b a^{- 1} (a + b)$ y $2 b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5

Factoriza $- 1$ de $- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a$ .

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Paso 5.2.5.1

Reordena la expresión.

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Paso 5.2.5.1.1

Mueve $b$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 a^{- 1} b (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5.1.2

Mueve $- b$ .

$\frac{a^{2} (1 a^{- 1} b (a + b) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5.2

Factoriza $- 1$ de $1 a^{- 1} b (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5.3

Factoriza $- 1$ de $a$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5.4

Factoriza $- 1$ de $- b$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b)$ .

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{1}{a} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.7

Combina $b$ y $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 5.2.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{b}{a}$ al numerador.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.10

Multiplica $- \frac{b}{a} b$ .

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Paso 5.2.10.1

Combina $b$ y $\frac{b}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b \cdot b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.10.2

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.10.3

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b^{1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1 + 1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{2}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.11

Suma $- b$ y $b$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a + 0))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.2.12

Suma $- \frac{b^{2}}{a} - a$ y $0$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.3

Para escribir $- a$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a \cdot \frac{a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.4

Combina $- a$ y $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} + \frac{- a \cdot a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a \cdot a}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.6

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1

Mueve $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - (a \cdot a)}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.6.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{a^{2} \cdot - 1 \frac{- b^{2} - a^{2}}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.7

Combina exponentes.

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Paso 5.7.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (a^{2} \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.7.2

Combina $a^{2}$ y $\frac{- b^{2} - a^{2}}{a}$ .

$\frac{- \frac{a^{2} (- b^{2} - a^{2})}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $a^{2}$ y $a$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $a$ de $a^{2} (- b^{2} - a^{2})$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.8.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a^{1}}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.8.2.2

Factoriza $a$ de $a^{1}$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.8.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.8.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{a (- b^{2} - a^{2})}{1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.8.2.5

Divide $a (- b^{2} - a^{2})$ por $1$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- (- a b^{2} + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- (- a b^{2} - a \cdot a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.12

Multiplica $a$ por $a^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.1

Mueve $a^{2}$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.12.2

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 5.12.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a^{1}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- (- a b^{2} - a^{2 + 1})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.12.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.13

Factoriza $a$ de $- a b^{2} - a^{3}$ .

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Paso 5.13.1

Factoriza $a$ de $- a b^{2}$ .

$\frac{- (a (- b^{2}) - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.13.2

Factoriza $a$ de $- a^{3}$ .

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 5.13.3

Factoriza $a$ de $a (- b^{2}) + a (- a^{2})$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a \cdot a + a (- b) + (a + b) b}$

Paso 6.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + a (- b) + (a + b) b}$

Paso 6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + (a + b) b}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b \cdot b}$

Paso 6.5

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b^{2}}$

Paso 6.6

Suma $- a b$ y $a b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + 0 + b^{2}}$

Paso 6.7

Suma $a^{2}$ y $0$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $- b^{2} - a^{2}$ y $a^{2} + b^{2}$ .

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- b^{2}$ .

$\frac{- a (- (b^{2}) - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $- a^{2}$ .

$\frac{- a (- (b^{2}) - (a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (b^{2}) - (a^{2})$ .

$\frac{- a (- (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7.4

Reescribe $- (b^{2} + a^{2})$ como $- 1 (b^{2} + a^{2})$ .

$\frac{- a (- 1 (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7.5

Reordena los términos.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7.6

Cancela el factor común.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Paso 7.7

Divide $- a \cdot (- 1)$ por $1$ .

$- a \cdot (- 1)$

Paso 8

Multiplica $- a (- 1)$ .

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 a$

Paso 8.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$a$