Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} > 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 > 0$

Paso 2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 \cdot \frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Paso 3

Combina $- 2$ y $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} + \frac{- 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Paso 5

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$1 - 2 | 2 x - 3 | = 0$

$| 2 x - 3 | = 0$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 | 2 x - 3 | = - 1$

Paso 7

Divide cada término en $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Divide cada término en $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $| 2 x - 3 |$ por $1$ .

$| 2 x - 3 | = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$| 2 x - 3 | = \frac{1}{2}$

Paso 8

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm \frac{1}{2}$

Paso 9

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$2 x - 3 = \frac{1}{2}$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = \frac{1}{2} + 3$

Paso 9.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 9.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 9.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{1 + 6}{2}$

Paso 9.2.5.2

Suma $1$ y $6$ .

$2 x = \frac{7}{2}$

Paso 9.3

Divide cada término en $2 x = \frac{7}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Divide cada término en $2 x = \frac{7}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.2.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7}{2 \cdot 2}$

Paso 9.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{7}{4}$

Paso 9.4

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$2 x - 3 = - \frac{1}{2}$

Paso 9.5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = - \frac{1}{2} + 3$

Paso 9.5.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.5.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 9.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 9.5.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x = \frac{- 1 + 6}{2}$

Paso 9.5.5.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$2 x = \frac{5}{2}$

Paso 9.6

Divide cada término en $2 x = \frac{5}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Paso 9.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Paso 9.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Paso 9.6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.6.3.2

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.3.2.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Paso 9.6.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 9.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

Paso 10

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Paso 11

Más o menos $0$ es $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 12

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 13

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 13.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 14

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Paso 15

Consolida las soluciones.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}$

Paso 16

Obtén el dominio de $\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Establece el denominador en $\frac{1}{| 2 x - 3 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| 2 x - 3 | = 0$

Paso 16.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Paso 16.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 16.2.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 16.2.4

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.4.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 16.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 16.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 16.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Paso 17

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

$x > \frac{7}{4}$

Paso 18

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 18.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{| 2 (0) - 3 |} > 2$

Paso 18.1.3

$0.\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 18.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.38$

Paso 18.2.2

Reemplaza $x$ con $1.38$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{| 2 (1.38) - 3 |} > 2$

Paso 18.2.3

$4.1\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 18.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.62$

Paso 18.3.2

Reemplaza $x$ con $1.62$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{| 2 (1.62) - 3 |} > 2$

Paso 18.3.3

$4.1\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 18.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 18.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{| 2 (4) - 3 |} > 2$

Paso 18.4.3

$0.2$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 18.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{5}{4}$ Falso

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Verdadero

$x > \frac{7}{4}$ Falso

$x < \frac{5}{4}$ Falso

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Verdadero

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Verdadero

$x > \frac{7}{4}$ Falso

Paso 19

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ o $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Paso 20

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2} or \frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Notación de intervalo:

$(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$

Paso 21