Álgebra Ejemplos

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Paso 1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ por $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Paso 2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Paso 2.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $2 \log (x + y)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

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Paso 4.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica $2 \log (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Paso 4.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Paso 4.1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Paso 4.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Resta $4 x y$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1

Reescribe ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.2

Expande $(x + y) (x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.3.2

Suma $x y$ y $y x$ .

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Paso 6.1.2.3.2.1

Reordena $y$ y $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Paso 6.1.2.3.2.2

Suma $x y$ y $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Paso 6.1.3

Resta $4 x y$ de $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Paso 6.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2 y$ y $c = y^{2}$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1.1

Reescribe $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ como ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 2 y$ y $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3

Simplifica.

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Paso 6.4.1.3.1

Factoriza $2 y$ de $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

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Paso 6.4.1.3.1.1

Factoriza $2 y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.1.2

Factoriza $2 y$ de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.1.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.3

Combina exponentes.

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Paso 6.4.1.3.3.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.3.2

Multiplica $0$ por $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.4

Factoriza $y$ de $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

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Paso 6.4.1.3.4.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.4.2

Factoriza $y$ de $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.4.3

Factoriza $y$ de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.5

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 6.4.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.5.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.6

Resta $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.7

Combina exponentes.

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Paso 6.4.1.3.7.1

Multiplica $0$ por $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.3.7.2

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.1.6

$2 y$ más o menos $0$ es $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Paso 6.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.3.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 y}{2}$

Paso 6.4.3.2

Divide $y$ por $1$ .

$x = y$

Paso 6.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = y$ Raíces dobles