Álgebra Ejemplos

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} = \frac{3 t - 1}{t^{2} - 25}$

Paso 1

Resta $\frac{3 t - 1}{t^{2} - 25}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{t^{2} - 25} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{t^{2} - 25}$ .

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Paso 2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{t^{2} - 5^{2}} = 0$

Paso 2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 5$ .

$\frac{6}{t + 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{6}{t + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{6}{t + 5} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{2}{t - 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{2}{t - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t + 5}{t + 5}$ .

$\frac{6}{t + 5} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{2}{t - 5} \cdot \frac{t + 5}{t + 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(t + 5) (t - 5)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{6}{t + 5}$ por $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{6 (t - 5)}{(t + 5) (t - 5)} + \frac{2}{t - 5} \cdot \frac{t + 5}{t + 5} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{2}{t - 5}$ por $\frac{t + 5}{t + 5}$ .

$\frac{6 (t - 5)}{(t + 5) (t - 5)} + \frac{2 (t + 5)}{(t - 5) (t + 5)} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(t - 5) (t + 5)$ .

$\frac{6 (t - 5)}{(t + 5) (t - 5)} + \frac{2 (t + 5)}{(t + 5) (t - 5)} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (t - 5) + 2 (t + 5)}{(t + 5) (t - 5)} - \frac{3 t - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 (t - 5) + 2 (t + 5) - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 t + 6 \cdot - 5 + 2 (t + 5) - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7.2

Multiplica $6$ por $- 5$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 (t + 5) - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 2 \cdot 5 - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - (3 t - 1)}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - (3 t) - - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - 3 t - - 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.7.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 t - 30 + 2 t + 10 - 3 t + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.8

Suma $6 t$ y $2 t$ .

$\frac{8 t - 30 + 10 - 3 t + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.9

Resta $3 t$ de $8 t$ .

$\frac{5 t - 30 + 10 + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.10

Suma $- 30$ y $10$ .

$\frac{5 t - 20 + 1}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 2.11

Suma $- 20$ y $1$ .

$\frac{5 t - 19}{(t + 5) (t - 5)} = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{5 t - 19}{(t + 5) (t - 5)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(t + 5) (t - 5) = 0$

Paso 4

Resuelve $t$

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t + 5 = 0$

$t - 5 = 0$

Paso 4.2

Establece $t + 5$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 4.2.1

Establece $t + 5$ igual a $0$ .

$t + 5 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 5$

Paso 4.3

Establece $t - 5$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 4.3.1

Establece $t - 5$ igual a $0$ .

$t - 5 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 5$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(t + 5) (t - 5) = 0$ verdadera.

$t = - 5, 5$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$t = - 5, t = 5$

Paso 6