Álgebra Ejemplos

$2 {| y + 3 |}^{2} - 9 | y + 3 | - 5 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Sea $u = | y + 3 |$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $| y + 3 |$ .

$2 u^{2} - 9 u - 5 = 0$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 u$ .

$2 u^{2} - 9 u - 5 = 0$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $- 9$ como $1$ más $- 10$

$2 u^{2} + (1 - 10) u - 5 = 0$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 10 u - 5 = 0$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 10 u - 5 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} + u) - 10 u - 5 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - 5 (2 u + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 5) = 0$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $| y + 3 |$ .

$(2 | y + 3 | + 1) (| y + 3 | - 5) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 | y + 3 | + 1 = 0$

$| y + 3 | - 5 = 0$

Paso 3

Establece $2 | y + 3 | + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Establece $2 | y + 3 | + 1$ igual a $0$ .

$2 | y + 3 | + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 | y + 3 | + 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 | y + 3 | = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 | y + 3 | = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 | y + 3 | = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 | y + 3 |}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | y + 3 |}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $| y + 3 |$ por $1$ .

$| y + 3 | = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| y + 3 | = - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

No hay valor de $y$ que haga que la ecuación sea verdadera ya que el valor absoluto nunca puede ser negativo.

No hay solución

Paso 4

Establece $| y + 3 | - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Establece $| y + 3 | - 5$ igual a $0$ .

$| y + 3 | - 5 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $| y + 3 | - 5 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$| y + 3 | = 5$

Paso 4.2.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm 5$

Paso 4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y + 3 = 5$

Paso 4.2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 5 - 3$

Paso 4.2.3.2.2

Resta $3$ de $5$ .

$y = 2$

Paso 4.2.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y + 3 = - 5$

Paso 4.2.3.4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.3.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5 - 3$

Paso 4.2.3.4.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$y = - 8$

Paso 4.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2, - 8$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 | y + 3 | + 1) (| y + 3 | - 5) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 8$

Paso 6