Álgebra Ejemplos

$f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ como una ecuación.

$y = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2} = x$ .

$- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2}) = - 2 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 2 (- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2})$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt[3]{4 y}}{2} = - 2 x$

Paso 3.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt[3]{4 y}}{2} = - 2 x$

Paso 3.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt[3]{4 y}}{2} = - 2 x$

Paso 3.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - \sqrt[3]{4 y} = - 2 x$

Paso 3.3.1.2

Multiplica.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt[3]{4 y} = - 2 x$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $\sqrt[3]{4 y}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{4 y} = - 2 x$

Paso 3.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{4 y}}^{3} = {(- 2 x)}^{3}$

Paso 3.5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 y}$ como ${(4 y)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 y)}^{1} = {(- 2 x)}^{3}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$4 y = {(- 2 x)}^{3}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica ${(- 2 x)}^{3}$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$4 y = {(- 2)}^{3} x^{3}$

Paso 3.5.3.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$4 y = - 8 x^{3}$

Paso 3.6

Divide cada término en $4 y = - 8 x^{3}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $4 y = - 8 x^{3}$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 8 x^{3}}{4}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 8 x^{3}}{4}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 8 x^{3}}{4}$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 3.6.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 8 x^{3}$ .

$y = \frac{4 (- 2 x^{3})}{4}$

Paso 3.6.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 (- 2 x^{3})}{4 (1)}$

Paso 3.6.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 (- 2 x^{3})}{4 \cdot 1}$

Paso 3.6.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 2 x^{3}}{1}$

Paso 3.6.3.1.2.4

Divide $- 2 x^{3}$ por $1$ .

$y = - 2 x^{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

Paso 5.2.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3})$

Paso 5.2.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}}))$

Paso 5.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ como $4 x$ .

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Paso 5.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Paso 5.2.5.5

Simplifica.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Paso 5.2.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 x}{8}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

Paso 5.2.7.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

Paso 5.2.7.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Paso 5.2.7.4

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Paso 5.2.7.5

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $- 4$ y $4$ .

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

Paso 5.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

Paso 5.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

Paso 5.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Paso 5.2.8.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 (- x)$

Paso 5.2.9

Multiplica $- 1 (- x)$ .

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 1 x$

Paso 5.2.9.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- 2 x^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{4 (- 2 x^{3})}}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 8 x^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $- 8 x^{3}$ como ${(- 2 x)}^{3}$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 2 x)}^{3}}}{2}$

Paso 5.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{- 2 x}{2}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{2 (- x)}{2}$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Paso 5.3.4.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$