Álgebra Ejemplos

$- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0$

Paso 1

Escribe $- \frac{1}{2} \cdot | 4 x - 5 | + 3 < 0$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$4 x - 5 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x \geq 5$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $4 x \geq 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $4 x \geq 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Paso 1.3

En la parte donde $4 x - 5$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$4 x - 5 < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x < 5$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $4 x < 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $4 x < 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Paso 1.6

En la parte donde $4 x - 5$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$ .

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Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.2.2

Factoriza $2$ de $4 x$ .

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.2.3

Cancela el factor común.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.2.4

Reescribe la expresión.

${\begin{cases} - 1 (2 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.4

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

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Paso 1.8.1.4.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.1.4.2

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 6}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.8.5.2

Suma $5$ y $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$ .

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Paso 1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x) - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x + 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.5.3

Cancela el factor común.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.5.4

Reescribe la expresión.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 1 (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.7

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 5$ .

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Paso 1.9.1.7.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.7.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.9.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 6}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 1.9.5.2

Suma $- 5$ y $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{1}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $- 2 x + \frac{11}{2} < 0$ en $x$ .

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Paso 2.1

Resta $\frac{11}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x < - \frac{11}{2}$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 2 x < - \frac{11}{2}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término de $- 2 x < - \frac{11}{2}$ por $- 2$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x > - \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Paso 2.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x > - \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x > 1 (\frac{11}{2}) \frac{1}{2}$

Paso 2.2.3.3.2

Multiplica $\frac{11}{2}$ por $1$ .

$x > \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.2.3.3.3

Multiplica $\frac{11}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{11}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.3.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x > \frac{11}{4}$

Paso 3

Resuelve $2 x + \frac{1}{2} < 0$ en $x$ .

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Paso 3.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x < - \frac{1}{2}$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 x < - \frac{1}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 x < - \frac{1}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x < - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x < - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x < - \frac{1}{4}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - \frac{1}{4}$ o $x > \frac{11}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{1}{4} or x > \frac{11}{4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{11}{4}, \infty)$

Paso 6