Álgebra Ejemplos

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Paso 2

Para escribir $\log_{12} (n + 14)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina $\log_{12} (n + 14)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Paso 4

Mueve $2$ a la izquierda de $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Simplifica $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1.1

Simplifica $2 \log_{12} (n + 14)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Paso 5.1.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Paso 5.1.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ como $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Paso 5.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.1.4.1

Aplica la regla del producto a $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.4.2

Aplica la regla del producto a $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.7

Evalúa el exponente.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.8

Multiplica los exponentes en ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.8.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.8.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.9

Simplifica.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.11.1

Multiplica $2$ por $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Paso 5.1.11.2

Multiplica los exponentes en ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1.11.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Paso 5.1.11.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.11.2.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Paso 5.1.11.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Paso 5.1.12

Simplifica.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Paso 5.1.13

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Paso 5.1.14

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.14.1

Mueve $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Paso 5.1.14.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Paso 6

Reescribe $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Paso 7

Resuelve $n$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Paso 7.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Paso 7.3

Resta $144$ de ambos lados de la ecuación.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Paso 7.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.4.1

Factoriza $2$ de $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

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Paso 7.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Paso 7.4.1.2

Factoriza $2$ de $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Paso 7.4.1.3

Factoriza $2$ de $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Paso 7.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Paso 7.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Paso 7.4.2

Factoriza.

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Paso 7.4.2.1

Factoriza $n^{2} + 14 n - 72$ con el método AC.

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Paso 7.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 72$ y cuya suma es $14$ .

$- 4, 18$

Paso 7.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Paso 7.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Paso 7.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Paso 7.6

Establece $n - 4$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 7.6.1

Establece $n - 4$ igual a $0$ .

$n - 4 = 0$

Paso 7.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$n = 4$

Paso 7.7

Establece $n + 18$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 7.7.1

Establece $n + 18$ igual a $0$ .

$n + 18 = 0$

Paso 7.7.2

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$n = - 18$

Paso 7.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ verdadera.

$n = 4, - 18$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ sea verdadera.

$n = 4$