Álgebra Ejemplos

${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 2

Expande $(\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{3}$ por $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{9} + \frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3}) - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{3}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.3.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9} - \frac{2^{1} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.5

Multiplica $- \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{3}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{\sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{3 \cdot 3} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.5.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2^{1} i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$

Paso 3.1.7

Multiplica $- \frac{i \sqrt{2}}{3} (- \frac{i \sqrt{2}}{3})$ .

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{3} \frac{i \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.1.7.3

Multiplica $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.8

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.9

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.1.7.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Paso 3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.8.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Paso 3.1.8.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Paso 3.1.8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Paso 3.1.8.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Paso 3.1.8.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.8.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Paso 3.1.8.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2^{1}}{9}$

Paso 3.1.8.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 1 \cdot 2}{9}$

Paso 3.1.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} + \frac{- 2}{9}$

Paso 3.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2}{9}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 2}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9}$

Paso 3.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{9} - \frac{2 i}{9} - \frac{2 i}{9}$

Paso 3.4

Resta $\frac{2 i}{9}$ de $- \frac{2 i}{9}$ .

$\frac{0}{9} - 2 \frac{2 i}{9}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Divide $0$ por $9$ .

$0 - 2 \frac{2 i}{9}$

Paso 4.2

Multiplica $- 2 \frac{2 i}{9}$ .

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Paso 4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{2 i}{9}$ .

$0 + \frac{- 2 (2 i)}{9}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 + \frac{- 4 i}{9}$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{4 i}{9}$

Paso 5

Resta $\frac{4 i}{9}$ de $0$ .

$- \frac{4 i}{9}$