Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2} = x$

Paso 3.3

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{3}}{2} = x - \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 3.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Paso 3.5.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 3.5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 3.5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 2 x - 1$

Paso 3.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Paso 5.2.7

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.2.7.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.2.7.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.2.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[3]{2 x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{2 x - 1}}^{3}$ como $2 x - 1$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 x - 1}$ como ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.1.5

Simplifica.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- \frac{1}{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$