Álgebra Ejemplos

$(\frac{1}{x + 1} - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{3}{x^{2} - x + 1}) \div (x - \frac{2 x - 1}{x + 1})$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{x - \frac{2 x - 1}{x + 1}}$

Paso 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{x - \frac{2 x - 1}{x + 1}}$ por $\frac{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)} \cdot \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{x - \frac{2 x - 1}{x + 1}}$

Paso 2.2

Combinar.

$\frac{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (\frac{1}{x + 1} - \frac{3}{x^{3} + 1} + \frac{3}{x^{2} - x + 1})}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (x - \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{1}{x + 1} + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{3}{x^{3} + 1}) + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) ((x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)) \frac{1}{x + 1} + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{3}{x^{3} + 1}) + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{3}{x^{3} + 1}) + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{3} + 1$ .

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Paso 4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{x^{3} + 1}$ al numerador.

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{- 3}{x^{3} + 1} + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x^{3} + 1$ de $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x^{3} + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) \frac{- 3}{x^{3} + 1} + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común.

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x^{2} - x + 1$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $x^{2} - x + 1$ de $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x^{2} - x + 1) ((x + 1) (x^{3} + 1)) \frac{3}{x^{2} - x + 1}}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- \frac{2 x - 1}{x + 1})}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 x - 1}{x + 1}$ al numerador.

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) \frac{- (2 x - 1)}{x + 1}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $x + 1$ de $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x + 1) ((x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)) \frac{- (2 x - 1)}{x + 1}}$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común.

Paso 4.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3 + 2} + x^{3} (- x) + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.1.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{x^{5} + x^{3} (- x) + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{5} - x^{3} x + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{5} - (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} - (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{5} - x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.4

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.6

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 \cdot 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.2.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.3

Expande $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - x^{2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.6

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.4.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.5

Combina los términos opuestos en $x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1$ .

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Paso 5.5.1

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} + x + 0 - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.5.2

Suma $x^{3} + x$ y $0$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} + x - x + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.5.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} + 0 + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.5.4

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + (x^{3} + 1) \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 + x^{3} \cdot - 3 + 1 \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.7

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 \cdot x^{3} + 1 \cdot - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 \cdot x^{3} - 3 + (x + 1) (x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.9

Expande $(x + 1) (x^{3} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1)) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x \cdot x^{3} + x \cdot 1 + 1 (x^{3} + 1)) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x \cdot x^{3} + x \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.10

Simplifica cada término.

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Paso 5.10.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.10.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 5.10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x^{1} x^{3} + x \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x^{1 + 3} + x \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.10.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x^{4} + x \cdot 1 + 1 x^{3} + 1 \cdot 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.10.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x^{4} + x + 1 x^{3} + 1 \cdot 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.10.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x^{4} + x + x^{3} + 1 \cdot 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.10.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + (x^{4} + x + x^{3} + 1) \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.11

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + x^{4} \cdot 3 + x \cdot 3 + x^{3} \cdot 3 + 1 \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.12

Simplifica.

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Paso 5.12.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + 3 \cdot x^{4} + x \cdot 3 + x^{3} \cdot 3 + 1 \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.12.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + 3 \cdot x^{4} + 3 \cdot x + x^{3} \cdot 3 + 1 \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.12.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + 3 \cdot x^{4} + 3 \cdot x + 3 \cdot x^{3} + 1 \cdot 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.12.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + 3 \cdot x^{4} + 3 \cdot x + 3 \cdot x^{3} + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.13

Multiplica $3$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{5} - x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + 3 x^{4} + 3 x + 3 x^{3} + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.14

Suma $- x^{4}$ y $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 x^{3} - 3 + 3 x + 3 x^{3} + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.15

Resta $3 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 + 3 x + 3 x^{3} + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.16

Suma $- 2 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} - x + 1 - 3 + 3 x + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.17

Suma $- x$ y $3 x$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1 - 3 + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.18

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x - 2 + 3}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 5.19

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Factoriza $(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ de $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ de $(x + 1) (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) x$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x) + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))}$

Paso 6.1.2

Factoriza $(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1)$ de $(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x) + (x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (- (2 x - 1))$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x^{3} + 1^{3}) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{2} - x + 1) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.5

Combina exponentes.

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Paso 6.5.1

Eleva $x^{2} - x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) ({(x^{2} - x + 1)}^{1} (x^{2} - x + 1)) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.5.2

Eleva $x^{2} - x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) ({(x^{2} - x + 1)}^{1} {(x^{2} - x + 1)}^{1}) ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{1 + 1} ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} ((x + 1) x - (2 x - 1))}$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x \cdot x + 1 x - (2 x - 1))}$

Paso 6.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x^{2} + 1 x - (2 x - 1))}$

Paso 6.6.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x^{2} + x - (2 x - 1))}$

Paso 6.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x^{2} + x - (2 x) - - 1)}$

Paso 6.6.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x^{2} + x - 2 x - - 1)}$

Paso 6.6.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x^{2} + x - 2 x + 1)}$

Paso 6.7

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{2} (x^{2} - x + 1)}$

Paso 6.8

Combina exponentes.

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Paso 6.8.1

Eleva $x^{2} - x + 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) ({(x^{2} - x + 1)}^{1} {(x^{2} - x + 1)}^{2})}$

Paso 6.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{1 + 2}}$

Paso 6.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{3}}$