Álgebra Ejemplos

${(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3}{5} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $i$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$

Paso 2

Expande $(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) + \frac{3 i}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5^{1}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{3 i}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5} (3 i)}{5 \cdot 5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5} (3 i)}{25} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.6

Multiplica $\frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $\frac{3 i}{5}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Paso 3.1.7

Multiplica $\frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$ .

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $\frac{3 i}{5}$ por $\frac{3 i}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{3 i (3 i)}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i i}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.7.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 (i^{1} i)}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.7.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i^{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.7.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i^{2}}{25}$

Paso 3.1.8

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Paso 3.1.9

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{- 9}{25}$

Paso 3.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} - \frac{9}{25}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 5} - \frac{9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 3.3.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{5}{25} - \frac{9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 3.5

Resta $9$ de $5$ .

$\frac{- 4}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{- 4}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4}{25} + \frac{6 i \sqrt{5}}{25}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{25} + \frac{6 i \sqrt{5}}{25}$