Álgebra Ejemplos

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

Paso 1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

Paso 2

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} + 3 y^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

Paso 2.2

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

Paso 2.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

Paso 3

Divide cada término en $y^{2} (x + 3) = x - 1$ por $x + 3$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $y^{2} (x + 3) = x - 1$ por $x + 3$ .

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Paso 3.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

Paso 4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ como $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

Paso 5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

Paso 5.3.2

Eleva $\sqrt{x + 3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

Paso 5.3.3

Eleva $\sqrt{x + 3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

Paso 5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

Paso 5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

Paso 5.3.6

Reescribe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ como $x + 3$ .

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Paso 5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

Paso 5.3.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Paso 5.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 8.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 8.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 8.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 8.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ verdadera.

$x = 1, - 3$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$21$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$21$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $x \geq 1$

Paso 9

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 3 = 0$

Paso 10

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 11

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 3, x \geq 1}$

Paso 12

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq 1, - 1}$

Paso 13

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

Rango: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

Paso 14