Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x = 11$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{2} - 11 x = 11$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x = 11$

Paso 1.2

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x - 11 = 0$

Paso 2

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 2.1

Para escribir $- 11 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x \cdot \frac{2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.2

Combina $- 11 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{- 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 (\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + x - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$2 (\frac{x^{2} + 0 - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 11$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 - 22 x}{2} - 11) = 0$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} - 11) = 0$

Paso 2.5

Para escribir $- 11$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} - 11 \cdot \frac{2}{2}) = 0$

Paso 2.6

Combina $- 11$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} + \frac{- 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Paso 2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Paso 2.8.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2 = 0$

Paso 2.9

Multiplica $- 11$ por $2$ .

$x^{2} - 22 x - 1 - 22 = 0$

Paso 2.10

Resta $22$ de $- 1$ .

$x^{2} - 22 x - 23 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 22$ y $c = - 23$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 23)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 22$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 23$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 23$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 92}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Suma $484$ y $92$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{22 \pm 24}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{22 \pm 24}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{22 \pm 24}{2}$ .

$x = 11 \pm 12$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 23, - 1$