Álgebra Ejemplos

$\log_{7} (x^{2} - 5) - \log_{7} (x + 1) = 0$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x^{2} - 5}{x + 1}) = 0$

Paso 2

Reescribe $\log_{7} (\frac{x^{2} - 5}{x + 1}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x^{2} - 5}{x + 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} - 5 = 7^{0} (x + 1)$

Paso 4

Simplifica $7^{0} (x + 1)$ .

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Paso 4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} - 5 = 1 (x + 1)$

Paso 4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x^{2} - 5 = x + 1$

Paso 5

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 5 - x = 1$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x = 1 + 5$

Paso 6.2

Suma $1$ y $5$ .

$x^{2} - x = 6$

Paso 7

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Paso 8

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 10

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 10.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 11

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 11.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 2$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{7} (x^{2} - 5) - \log_{7} (x + 1) = 0$ sea verdadera.

$x = 3$