Álgebra Ejemplos

$\frac{6 - x}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x} \div \frac{x^{2} - 15 x + 54}{x^{2} - 15 x + 54}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{6 - x}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x} \frac{x^{2} - 15 x + 54}{x^{2} - 15 x + 54}$

Paso 2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 15 x + 54$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 - x}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x} \frac{x^{2} - 15 x + 54}{x^{2} - 15 x + 54}$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 - x}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x} \cdot 1$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{6 - x}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$ por $1$ .

$\frac{6 - x}{64 - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{6 - x}{8^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = x$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x^{3} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 12 x^{2} + 32 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + 12 x^{2} + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + 32 x}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $32 x$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 32}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 4.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (12 x)$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 32}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 4.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 32$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x^{2} + 12 x + 32)}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} + 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $12$ .

$4, 8$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x ((x + 4) (x + 8))}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} - 12 x^{2} - 144 x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 144 x}$

Paso 5.1.2

Factoriza $6 x$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x^{2}) + 6 x (- 2 x) - 144 x}$

Paso 5.1.3

Factoriza $6 x$ de $- 144 x$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x^{2}) + 6 x (- 2 x) + 6 x (- 24)}$

Paso 5.1.4

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 2 x)$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x^{2} - 2 x) + 6 x (- 24)}$

Paso 5.1.5

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2} - 2 x) + 6 x (- 24)$ .

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x^{2} - 2 x - 24)}$

Paso 5.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 24$ con el método AC.

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Paso 5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 6, 4$

Paso 5.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x ((x - 6) (x + 4))}$

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x - 6) (x + 4)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x (x + 4) (x + 8)}{6 x (x - 6) (x + 4)}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{(6 (x - 6)) (x + 4)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 8)}{6 (x - 6) (x + 4)}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)} \cdot \frac{x + 8}{6 (x - 6)}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{6 - x}{(8 + x) (8 - x)}$ por $\frac{x + 8}{6 (x - 6)}$ .

$\frac{(6 - x) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) (6 (x - 6))}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $6 - x$ y $x - 6$ .

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Paso 6.4.1

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{(- 1 (- 6) - x) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) (6 (x - 6))}$

Paso 6.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- 1 (- 6) - (x)) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) (6 (x - 6))}$

Paso 6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 6 + x) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) (6 (x - 6))}$

Paso 6.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (x - 6) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) (6 (x - 6))}$

Paso 6.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x - 6) (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) (6 (x - 6))}$

Paso 6.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 8)}{(8 + x) (8 - x) \cdot (6)}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $x + 8$ y $8 + x$ .

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Paso 6.5.1

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (x + 8)}{(x + 8) (8 - x) \cdot 6}$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x + 8)}{(x + 8) (8 - x) \cdot 6}$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{(8 - x) \cdot 6}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.1

Mueve $6$ a la izquierda de $8 - x$ .

$\frac{- 1}{6 \cdot (8 - x)}$

Paso 6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6 (8 - x)}$