Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Paso 2.5

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3.2.2

Suma $x^{2} + x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{x - 1}$