Álgebra Ejemplos

$12 n^{2} + 48 n = - n^{3} - 64$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $n^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} = - 64$

Paso 1.2

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} + 64 = 0$

Paso 2

Reordena los términos.

$n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64 = 0$

Paso 3

Reescribe $n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64$ en forma factorizada.

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Paso 3.1

Reagrupa los términos.

$n^{3} + 64 + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Paso 3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$n^{3} + 4^{3} + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = n$ y $b = 4$ .

$(n + 4) (n^{2} - n \cdot 4 + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Paso 3.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Paso 3.5

Factoriza $12 n$ de $12 n^{2} + 48 n$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $12 n$ de $12 n^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 48 n = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza $12 n$ de $48 n$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 12 n (4) = 0$

Paso 3.5.3

Factoriza $12 n$ de $12 n (n) + 12 n (4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4) = 0$

Paso 3.6

Factoriza $n + 4$ de $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4)$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $n + 4$ de $12 n (n + 4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n) = 0$

Paso 3.6.2

Factoriza $n + 4$ de $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16 + 12 n) = 0$

Paso 3.7

Suma $- 4 n$ y $12 n$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 16) = 0$

Paso 3.8

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 4^{2}) = 0$

Paso 3.8.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 n = 2 \cdot n \cdot 4$

Paso 3.8.3

Reescribe el polinomio.

$(n + 4) (n^{2} + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 3.8.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = n$ y $b = 4$ .

$(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$n + 4 = 0$

${(n + 4)}^{2} = 0$

Paso 5

Establece $n + 4$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 5.1

Establece $n + 4$ igual a $0$ .

$n + 4 = 0$

Paso 5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$n = - 4$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$n = - 4$