Álgebra Ejemplos

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} + 5 y + 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{y^{2} - 5 y + 4}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} + 5 y + 4}{y^{2} - 9}$

Paso 2

Factoriza $y^{2} - 5 y + 4$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y - 4) (y - 1)}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} + 5 y + 4}{y^{2} - 9}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(y - 4) (y - 1)}{y^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{y^{2} + 5 y + 4}{y^{2} - 9}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{(y - 4) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y + 4}{y^{2} - 9}$

Paso 4

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 4) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y^{2} + 5 y + 4}{y^{2} - 9}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 4}{y + 1} \cdot \frac{y^{2} + 5 y + 4}{y^{2} - 9}$

Paso 5

Factoriza $y^{2} + 5 y + 4$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 4}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (y + 4)}{y^{2} - 9}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{y - 4}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (y + 4)}{y^{2} - 3^{2}}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 3$ .

$\frac{y - 4}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (y + 4)}{(y + 3) (y - 3)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 4}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (y + 4)}{(y + 3) (y - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$(y - 4) \frac{y + 4}{(y + 3) (y - 3)}$

Paso 8

Multiplica $y - 4$ por $\frac{y + 4}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{(y - 4) (y + 4)}{(y + 3) (y - 3)}$