Álgebra Ejemplos

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x + 4} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 \sqrt[3]{x + 4} - 2$ como una ecuación.

$y = 5 \sqrt[3]{x + 4} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 \sqrt[3]{y + 4} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 \sqrt[3]{y + 4} - 2 = x$ .

$5 \sqrt[3]{y + 4} - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$5 \sqrt[3]{y + 4} = x + 2$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[3]{y + 4})}^{3} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y + 4}$ como ${(y + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(5 {(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(5 {(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 {(y + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{3} {({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 {({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 {(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$125 {(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$125 {(y + 4)}^{1} = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.4

Simplifica.

$125 (y + 4) = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$125 y + 125 \cdot 4 = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.2.1.6

Multiplica $125$ por $4$ .

$125 y + 500 = {(x + 2)}^{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(x + 2)}^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$125 y + 500 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$125 y + 500 = x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$125 y + 500 = x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$125 y + 500 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3}$

Paso 3.4.3.1.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$125 y + 500 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $500$ de ambos lados de la ecuación.

$125 y = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - 500$

Paso 3.5.1.2

Resta $500$ de $8$ .

$125 y = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 492$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $125 y = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 492$ por $125$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $125 y = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 492$ por $125$ .

$\frac{125 y}{125} = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} + \frac{- 492}{125}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{125 y}{125} = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} + \frac{- 492}{125}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} + \frac{- 492}{125}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}$ es la inversa de $f (x) = 5 \sqrt[3]{x + 4} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{{(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{3}}{125} + \frac{6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2}}{125} + \frac{12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}{125} - \frac{492}{125}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{{(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{{(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{3} + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.2.1

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt[3]{x + 4}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{5^{3} {\sqrt[3]{x + 4}}^{3} + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 {\sqrt[3]{x + 4}}^{3} + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ como $x + 4$ .

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Paso 5.2.4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 {({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 {(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.2.3.4.1

Cancela el factor común.

Paso 5.2.4.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 (x + 4) + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.3.5

Simplifica.

Paso 5.2.4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 125 \cdot 4 + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.5

Multiplica $125$ por $4$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 + 3 {(5 \sqrt[3]{x + 4})}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.6

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt[3]{x + 4}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 + 3 (5^{2} {\sqrt[3]{x + 4}}^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.7

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 + 3 (25 {\sqrt[3]{x + 4}}^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.8

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 + 3 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}) \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.9

Multiplica $25$ por $3$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 + 75 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} \cdot - 2 + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.10

Multiplica $- 2$ por $75$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 3 (5 \sqrt[3]{x + 4}) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.11

Multiplica $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 15 \sqrt[3]{x + 4} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.12

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 15 \sqrt[3]{x + 4} \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.13

Multiplica $4$ por $15$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + {(- 2)}^{3} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.2.14

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 500 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 8 + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.3

Resta $8$ de $500$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 {(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2} + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe ${(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)}^{2}$ como $(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 ((5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.5

Expande $(5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (5 \sqrt[3]{x + 4} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (5 \sqrt[3]{x + 4} (5 \sqrt[3]{x + 4}) + 5 \sqrt[3]{x + 4} \cdot - 2 - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2)) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 5.2.4.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.4.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.6.1.1

Multiplica $5 \sqrt[3]{x + 4} (5 \sqrt[3]{x + 4})$ .

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Paso 5.2.4.6.1.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{x + 4} + 5 \sqrt[3]{x + 4} \cdot - 2 - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4}) - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.1.2

Eleva $\sqrt[3]{x + 4}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 (\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{x + 4}) + 5 \sqrt[3]{x + 4} \cdot - 2 - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4}) - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.1.3

Eleva $\sqrt[3]{x + 4}$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.4.6.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 {\sqrt[3]{x + 4}}^{1 + 1} + 5 \sqrt[3]{x + 4} \cdot - 2 - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4}) - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 {\sqrt[3]{x + 4}}^{2} + 5 \sqrt[3]{x + 4} \cdot - 2 - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4}) - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 5 \sqrt[3]{x + 4} \cdot - 2 - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4}) - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 10 \sqrt[3]{x + 4} - 2 (5 \sqrt[3]{x + 4}) - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.4

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 10 \sqrt[3]{x + 4} - 10 \sqrt[3]{x + 4} - 2 \cdot - 2) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 10 \sqrt[3]{x + 4} - 10 \sqrt[3]{x + 4} + 4) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.6.2

Resta $10 \sqrt[3]{x + 4}$ de $- 10 \sqrt[3]{x + 4}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 20 \sqrt[3]{x + 4} + 4) + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 6 (25 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}) + 6 (- 20 \sqrt[3]{x + 4}) + 6 \cdot 4 + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.8

Simplifica.

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Paso 5.2.4.8.1

Multiplica $25$ por $6$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 6 (- 20 \sqrt[3]{x + 4}) + 6 \cdot 4 + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.8.2

Multiplica $- 20$ por $6$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 6 \cdot 4 + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.8.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) - 492}{125}$

Paso 5.2.4.9

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 12 (5 \sqrt[3]{x + 4}) + 12 \cdot - 2 - 492}{125}$

Paso 5.2.4.10

Multiplica $5$ por $12$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 12 \cdot - 2 - 492}{125}$

Paso 5.2.4.11

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 24 - 492}{125}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $125 x + 492 - 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} + 60 \sqrt[3]{x + 4} + 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 24 - 492$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ y $150 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 + 0 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 24 - 492}{125}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $125 x + 492$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 24 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 24 - 492}{125}$

Paso 5.2.5.1.3

Resta $24$ de $24$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 0 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 492}{125}$

Paso 5.2.5.1.4

Suma $125 x + 492 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4}$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 492 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 492}{125}$

Paso 5.2.5.1.5

Resta $492$ de $492$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 0 + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 60 \sqrt[3]{x + 4}}{125}$

Paso 5.2.5.1.6

Suma $125 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 60 \sqrt[3]{x + 4} - 120 \sqrt[3]{x + 4} + 60 \sqrt[3]{x + 4}}{125}$

Paso 5.2.5.2

Resta $120 \sqrt[3]{x + 4}$ de $60 \sqrt[3]{x + 4}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x - 60 \sqrt[3]{x + 4} + 60 \sqrt[3]{x + 4}}{125}$

Paso 5.2.5.3

Combina los términos opuestos en $125 x - 60 \sqrt[3]{x + 4} + 60 \sqrt[3]{x + 4}$ .

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Paso 5.2.5.3.1

Suma $- 60 \sqrt[3]{x + 4}$ y $60 \sqrt[3]{x + 4}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x + 0}{125}$

Paso 5.2.5.3.2

Suma $125 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x}{125}$

Paso 5.2.5.4

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 5.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = \frac{125 x}{125}$

Paso 5.2.5.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[3]{x + 4} - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) + 4} - 2$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{125}{125}$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125} + 4 \cdot \frac{125}{125}} - 2$

Paso 5.3.3.2

Combina $4$ y $\frac{125}{125}$ .

Paso 5.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} + \frac{- 492 + 4 \cdot 125}{125}} - 2$

Paso 5.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.4.1

Multiplica $4$ por $125$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} + \frac{- 492 + 500}{125}} - 2$

Paso 5.3.3.4.2

Suma $- 492$ y $500$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} + \frac{8}{125}} - 2$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{125}} - 2$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{125}$ como ${(\frac{1}{5})}^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8)$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8)}{125}} - 2$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{3}$ de $125$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8)}{5^{3} \cdot 1}} - 2$

Paso 5.3.3.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8)}{5^{3} \cdot 1}$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 \sqrt[3]{{(\frac{1}{5})}^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8)} - 2$

Paso 5.3.3.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}) - 2$

Paso 5.3.3.8

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (2 x^{2}) + 3 \cdot (2^{2} x) + 2^{3}}) - 2$

Paso 5.3.3.9

Factoriza $x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 \cdot 2^{2} x + 2^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{{(x + 2)}^{3}}) - 2$

Paso 5.3.3.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{1}{5} \cdot (x + 2)) - 2$

Paso 5.3.3.11

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot 2) - 2$

Paso 5.3.3.12

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot 2) - 2$

Paso 5.3.3.13

Combina $\frac{1}{5}$ y $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{x}{5} + \frac{2}{5}) - 2$

Paso 5.3.3.14

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 (\frac{2}{5}) - 2$

Paso 5.3.3.15

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.15.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 (\frac{2}{5}) - 2$

Paso 5.3.3.15.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = x + 5 (\frac{2}{5}) - 2$

Paso 5.3.3.16

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.16.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = x + 5 (\frac{2}{5}) - 2$

Paso 5.3.3.16.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}$ es la inversa de $f (x) = 5 \sqrt[3]{x + 4} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{125} + \frac{6 x^{2}}{125} + \frac{12 x}{125} - \frac{492}{125}$