Álgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{9 x^{2}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{9 y^{2}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{9 y^{2}} = x$ .

$\sqrt{9 y^{2}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{9 y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 y^{2}}$ como ${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(9 y^{2})}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$9 y^{2} = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $9 y^{2} = x^{2}$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.4.1.1

Divide cada término en $9 y^{2} = x^{2}$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Paso 3.4.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Paso 3.4.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9}$

Paso 3.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$ .

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Paso 3.4.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm \frac{x}{3}$

Paso 3.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{x}{3}$

Paso 3.4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{x}{3}$

Paso 3.4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $\frac{x}{3}$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ es el rango de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ es el dominio de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Paso 6