Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \div \frac{x^{2} - 25}{5 x + 10}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Paso 3

Factoriza $5$ de $5 x + 10$ .

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Paso 3.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x) + 10}{x^{2} - 25}$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 5 \cdot 2}{x^{2} - 25}$

Paso 3.3

Factoriza $5$ de $5 x + 5 \cdot 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 25}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 5^{2}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 5.1

Factoriza $x + 5$ de ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x - 5}$

Paso 6

Multiplica $\frac{x + 5}{x - 5}$ por $\frac{5 (x + 2)}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{(x - 5) (x - 5)}$

Paso 7

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Paso 8

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 11

Mueve $5$ a la izquierda de $x + 5$ .

$\frac{5 (x + 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 13

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{(5 x + 25) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 14

Expande $(5 x + 25) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x (x + 2) + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 15

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 15.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 15.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 15.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 15.1.3

Multiplica $25$ por $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 15.2

Suma $10 x$ y $25 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 16

Divide la fracción $\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 17

Divide la fracción $\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{5 x^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$