Álgebra Ejemplos

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Paso 1

Reescribe $3^{x + 2}$ como $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Paso 2

Reescribe $3^{1 - x}$ como $3^{1} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Paso 3

Reescribe $3^{- x}$ como exponenciación.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Paso 4

Sustituye $u$ por $3^{x}$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Paso 5.2

Mueve $9$ a la izquierda de $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Paso 5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Paso 5.4

Combina $3$ y $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 6.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 6.2

Multiplica cada término en $9 u + \frac{3}{u} = 28$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.1

Multiplica cada término en $9 u + \frac{3}{u} = 28$ por $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Mueve $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica $u$ por $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $28 u$ de ambos lados de la ecuación.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.3.2.1

Reordena los términos.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ y cuya suma es $b = - 28$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $- 28$ de $- 28 u$ .

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.2.2

Reescribe $- 28$ como $- 1$ más $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.3.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Paso 6.3.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Paso 6.3.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Paso 6.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Paso 6.3.4

Establece $9 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.4.1

Establece $9 u - 1$ igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Paso 6.3.4.2

Resuelve $9 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 6.3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 u = 1$

Paso 6.3.4.2.2

Divide cada término en $9 u = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 6.3.4.2.2.1

Divide cada término en $9 u = 1$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 6.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 6.3.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Paso 6.3.5

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.3.5.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 6.3.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 6.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Paso 7

Sustituye $\frac{1}{9}$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Paso 8

Resuelve $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = \frac{1}{9}$ .

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Paso 8.2

Eleva $9$ a la potencia de $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Paso 8.3

Mueve $9^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Paso 8.4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Paso 8.5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = - 2$

Paso 9

Sustituye $3$ por $u$ en $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Paso 10

Resuelve $3 = 3^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Paso 10.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{1}$

Paso 10.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 1$

Paso 11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = - 2, 1$

Paso 12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Paso 13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Paso 13.1.3

$243.\overline{1}$ del lado izquierdo es mayor que $28$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 13.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Paso 13.2.3

$12$ del lado izquierdo no es mayor que $28$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 13.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 13.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 13.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Paso 13.3.3

$729.\overline{037}$ del lado izquierdo es mayor que $28$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 13.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $x > 1$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 2 or x > 1$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Paso 16