Álgebra Ejemplos

$5^{- \frac{2}{3}} = \frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 5^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $25^{\frac{4}{3}}$ .

$25^{\frac{4}{3}} \frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $25^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$25^{\frac{4}{3}} \frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$125^{\frac{x}{3}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.2.1.2

Combina $25^{\frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = \frac{25^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Mueve $5^{\frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = {(5^{2})}^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(5^{2})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{2 (\frac{4}{3})} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 6.2

Multiplica $2 (\frac{4}{3})$ .

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Paso 6.2.1

Combina $2$ y $\frac{4}{3}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{2 \cdot 4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{8}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{8 - 2}{3}}$

Paso 9

Resta $2$ de $8$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{6}{3}}$

Paso 10

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 10.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Paso 10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{2}{1}}$

Paso 10.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{2}$

Paso 11

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$5^{3 \frac{x}{3}} = 5^{2}$

Paso 12

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$3 \frac{x}{3} = 2$

Paso 13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 2$

Paso 13.2

Reescribe la expresión.

$x = 2$