Álgebra Ejemplos

$\sec (\frac{2 π}{3} + x) = 2$

Paso 1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$\frac{2 π}{3} + x = arcsec (2)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{π}{3}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $\frac{2 π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π - 2 π}{3}$

Paso 3.3

Resta $2 π$ de $π$ .

$x = \frac{- π}{3}$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 4

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{2 π}{3} + x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.1.2

Combina fracciones.

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Paso 5.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 5.1.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $\frac{2 π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{5 π}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{5 π - 2 π}{3}$

Paso 5.2.3

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$x = \frac{3 π}{3}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 π}{3}$

Paso 5.2.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Paso 6

Obtén el período de $\sec (\frac{2 π}{3} + x)$ .

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Paso 6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.3

Combina fracciones.

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Paso 7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 7.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 8

El período de la función $\sec (\frac{2 π}{3} + x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$