Álgebra Ejemplos

$\log_{25} (4 x + 2) - \log_{25} (2 x - 1) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{25} (\frac{4 x + 2}{2 x - 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $4 x + 2$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\log_{25} (\frac{2 (2 x) + 2}{2 x - 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{25} (\frac{2 (2 x) + 2 (1)}{2 x - 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\log_{25} (\frac{2 (2 x + 1)}{2 x - 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 2

Reescribe $\log_{25} (\frac{2 (2 x + 1)}{2 x - 1}) = \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$25^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (2 x + 1)}{2 x - 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 (2 x + 1) = 25^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$

Paso 4

Simplifica $25^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$2 (2 x + 1) = {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 x + 1) = 5^{2 (\frac{1}{2})} (2 x - 1)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$2 (2 x + 1) = 5^{2 (\frac{1}{2})} (2 x - 1)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (2 x + 1) = 5^{1} (2 x - 1)$

Paso 4.3

Evalúa el exponente.

$2 (2 x + 1) = 5 (2 x - 1)$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x + 1) = 5 (2 x) + 5 \cdot - 1$

Paso 4.5

Multiplica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 (2 x + 1) = 10 x + 5 \cdot - 1$

Paso 4.5.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$2 (2 x + 1) = 10 x - 5$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 (2 x + 1) - 10 x = - 5$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 10 x = - 5$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + 2 \cdot 1 - 10 x = - 5$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 x + 2 - 10 x = - 5$

Paso 5.3

Resta $10 x$ de $4 x$ .

$- 6 x + 2 = - 5$

Paso 6

Factoriza $2$ de $- 6 x + 2$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$2 (- 3 x) + 2 = - 5$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (- 3 x) + 2 (1) = - 5$

Paso 6.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x) + 2 (1)$ .

$2 (- 3 x + 1) = - 5$

Paso 7

Divide cada término en $2 (- 3 x + 1) = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 (- 3 x + 1) = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 (- 3 x + 1)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x + 1)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $- 3 x + 1$ por $1$ .

$- 3 x + 1 = \frac{- 5}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x + 1 = - \frac{5}{2}$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - \frac{5}{2} - 1$

Paso 8.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x = - \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x = - \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 x = \frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 x = \frac{- 5 - 2}{2}$

Paso 8.5.2

Resta $2$ de $- 5$ .

$- 3 x = \frac{- 7}{2}$

Paso 8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 x = - \frac{7}{2}$

Paso 9

Divide cada término en $- 3 x = - \frac{7}{2}$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $- 3 x = - \frac{7}{2}$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- \frac{7}{2}}{- 3}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- \frac{7}{2}}{- 3}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{7}{2}}{- 3}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{2} (- \frac{1}{3})$

Paso 9.3.3

Multiplica $- \frac{7}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{7}{2}) \frac{1}{3}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 9.3.3.3

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7}{2 \cdot 3}$

Paso 9.3.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{7}{6}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{7}{6}$

Forma decimal:

$x = 1.1\overline{6}$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{6}$