Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 2}{x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 3) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x + 2}{x + 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.4

Resta $5$ de $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.5

Reescribe $x^{2} - 9$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.1.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.1.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

Paso 4.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

Paso 4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

Paso 4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

Paso 4.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.1

Mueve un negativo del denominador de $\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ al numerador.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

Paso 4.3.4.2

Reordena los términos.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

Paso 4.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

Paso 5.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$\frac{x - 4}{x - 2}$