Álgebra Ejemplos

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Paso 1

Resta $\frac{8}{x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Paso 2

Simplifica $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $| x - 2 |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Paso 2.3

Reordena los factores en $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Paso 4

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x | x - 2 | = 8$

Paso 5

Divide cada término en $x | x - 2 | = 8$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $x | x - 2 | = 8$ por $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Paso 5.2.1.2

Divide $| x - 2 |$ por $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Paso 6

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Paso 7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Paso 7.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 7.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 7.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 7.4

Multiplica cada término en $x = \frac{8}{x} + 2$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.4.1

Multiplica cada término en $x = \frac{8}{x} + 2$ por $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Paso 7.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Paso 7.4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Paso 7.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 7.5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = 8$

Paso 7.5.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 7.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 7.5.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Paso 7.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 7.5.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 7.5.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 7.5.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.5.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 2$

Paso 7.6

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Paso 7.7

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Paso 7.8

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 7.8.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 7.8.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 7.9

Multiplica cada término en $x = - \frac{8}{x} + 2$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.9.1

Multiplica cada término en $x = - \frac{8}{x} + 2$ por $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Paso 7.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.9.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Paso 7.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.9.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.9.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{x}$ al numerador.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Paso 7.9.3.1.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Paso 7.9.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Paso 7.10

Resuelve la ecuación.

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Paso 7.10.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Paso 7.10.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Paso 7.10.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.10.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5

Simplifica.

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Paso 7.10.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.10.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Paso 7.10.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.3

Resta $32$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.4

Reescribe $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (28)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.7

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 7.10.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 7.10.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Paso 7.10.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Paso 7.10.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Paso 7.11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, 4, - 2$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 10.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Paso 12.1.3

$6$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Paso 12.2.3

$3$ del lado izquierdo no es menor que $- 8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Paso 12.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Paso 12.4.3

$4$ del lado izquierdo no es menor que $1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 4$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 4$

Notación de intervalo:

$(0, 4)$

Paso 15