Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x^{3} + 9 x^{2} + 18 x}{x + 6}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 9 x^{2} + 18 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 18 x}{x + 6}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (9 x) + 18 x}{x + 6}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $18 x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (9 x) + x \cdot 18}{x + 6}$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (9 x)$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x^{2} + 9 x) + x \cdot 18}{x + 6}$

Paso 1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 9 x) + x \cdot 18$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x^{2} + 9 x + 18)}{x + 6}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 9 x + 18$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $9$ .

$3, 6$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x ((x + 3) (x + 6))}{x + 6}$

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 24 x^{2} - 108 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x (x^{2}) - 24 x^{2} - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 3.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) - 108 x}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 3.1.3

Factoriza $4 x$ de $- 108 x$ .

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 4 x (- 27)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 3.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x)$ .

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (- 27)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 3.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (- 27)$ .

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 6 x - 27)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - 6 x - 27$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 27$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 9, 3$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x ((x - 9) (x + 3))}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

$\frac{2 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{4 x (x - 9) (x + 3)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x + 3$ de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{2 x}{(x + 3) (x + 3)} \cdot \frac{4 x (x - 9) (x + 3)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x + 3$ de $4 x (x - 9) (x + 3)$ .

$\frac{2 x}{(x + 3) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 3) (4 x (x - 9))}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{(x + 3) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 3) (4 x (x - 9))}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{4 x (x - 9)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 x}{x + 3}$ por $\frac{4 x (x - 9)}{x - 9}$ .

$\frac{2 x (4 x (x - 9))}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 4.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x (x (x - 9))}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x^{1} x) (x - 9)}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x^{1} x^{1}) (x - 9)}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{1 + 1} (x - 9)}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 x^{2} (x - 9)}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{x (x + 3) (x + 6)}{x + 6}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x + 3$ de $x (x + 3) (x + 6)$ .

$\frac{8 x^{2} (x - 9)}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{(x + 3) (x (x + 6))}{x + 6}$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{2} (x - 9)}{(x + 3) (x - 9)} \cdot \frac{(x + 3) (x (x + 6))}{x + 6}$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x^{2} (x - 9)}{x - 9} \cdot \frac{x (x + 6)}{x + 6}$

Paso 10

Multiplica $\frac{8 x^{2} (x - 9)}{x - 9}$ por $\frac{x (x + 6)}{x + 6}$ .

$\frac{8 x^{2} (x - 9) (x (x + 6))}{(x - 9) (x + 6)}$

Paso 11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x^{1} x^{2}) (x - 9) (x + 6)}{(x - 9) (x + 6)}$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{1 + 2} (x - 9) (x + 6)}{(x - 9) (x + 6)}$

Paso 13

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{8 x^{3} (x - 9) (x + 6)}{(x - 9) (x + 6)}$

Paso 14

Cancela el factor común de $x - 9$ .

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Paso 14.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{3} (x - 9) (x + 6)}{(x - 9) (x + 6)}$

Paso 14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x^{3} (x + 6)}{x + 6}$

Paso 15

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 15.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{3} (x + 6)}{x + 6}$

Paso 15.2

Divide $8 x^{3}$ por $1$ .

$8 x^{3}$