Álgebra Ejemplos

$y = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{1}{4} y + 6)}^{3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$ .

${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$

Paso 2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\frac{1}{4} y + 6 = \sqrt[3]{x}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $y$ .

$\frac{y}{4} + 6 = \sqrt[3]{x}$

Paso 2.4

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{4} = \sqrt[3]{x} - 6$

Paso 2.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Paso 2.6

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Paso 2.6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica $4 (\sqrt[3]{x} - 6)$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot - 6$

Paso 2.6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$y = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Paso 4.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{1}{4} x + 6) - 24$

Paso 4.2.4.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4} + 6) - 24$

Paso 4.2.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Paso 4.2.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Paso 4.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 4 \cdot 6 - 24$

Paso 4.2.4.5

Multiplica $4$ por $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 24 - 24$

Paso 4.2.5

Combina los términos opuestos en $x + 24 - 24$ .

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Paso 4.2.5.1

Resta $24$ de $24$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (4 \sqrt[3]{x} - 24)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x} - 24) + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 (\sqrt[3]{x})) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $4$ de $- 24$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 6)) + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 6) + 6)}^{3}$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} - 6 + 6)}^{3}$

Paso 4.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.4.1

Combina los términos opuestos en $\sqrt[3]{x} - 6 + 6$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Paso 4.3.4.1.2

Suma $\sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 4.3.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 4.3.4.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 4.3.4.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Paso 4.3.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Paso 4.3.4.2.5

Simplifica.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$