Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 13 x + 42}{2 x^{2} + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \div \frac{- x - 7}{- 9}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 13 x + 42}{2 x^{2} + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 13 x + 42$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $42$ y cuya suma es $13$ .

$6, 7$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 x^{2} + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 28 x + 96$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2}) + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $28 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2}) + 2 (14 x) + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $96$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 x^{2} + 2 (14 x) + 2 \cdot 48} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 3.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (14 x)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2} + 14 x) + 2 \cdot 48} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 14 x) + 2 \cdot 48$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2} + 14 x + 48)} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} + 14 x + 48$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $48$ y cuya suma es $14$ .

$6, 8$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 ((x + 6) (x + 8))} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 13 x + 40$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $40$ y cuya suma es $13$ .

$5, 8$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Factoriza $6 x$ de $- 6 x^{2} - 30 x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $6 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x) - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.1.2

Factoriza $6 x$ de $- 30 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x) + 6 x (- 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.1.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (- x) + 6 x (- 5)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x + 8$ de $2 (x + 6) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x + 8) (2 (x + 6))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.2.2

Factoriza $x + 8$ de $(x + 5) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x + 8) (2 (x + 6))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 5)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x + 8) (2 (x + 6))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 5)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6)} \cdot \frac{x + 5}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6)}$ por $\frac{x + 5}{6 x (- x - 5)}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{2 (x + 6) (6 x (- x - 5))} \cdot \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{12 (x + 6) (x (- x - 5))} \cdot \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $3$ de $12 (x + 6) (x (- x - 5))$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{3 (4 (x + 6) (x (- x - 5)))} \cdot \frac{- 9}{- x - 7}$

Paso 5.5.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{3 (4 (x + 6) (x (- x - 5)))} \cdot \frac{3 (- 3)}{- x - 7}$

Paso 5.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{3 (4 (x + 6) (x (- x - 5)))} \cdot \frac{3 \cdot - 3}{- x - 7}$

Paso 5.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{4 (x + 6) (x (- x - 5))} \cdot \frac{- 3}{- x - 7}$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{4 (x + 6) (x (- x - 5))}$ por $\frac{- 3}{- x - 7}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5) \cdot - 3}{4 (x + 6) (x (- x - 5)) (- x - 7)}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 5.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5) \cdot - 3}{4 (x + 6) (x (- x - 5)) (- x - 7)}$

Paso 5.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{((x + 7) (x + 5)) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $x + 7$ y $- x - 7$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 7) (x + 5) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Paso 5.8.2

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 7)) (x + 5) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Paso 5.8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- 1 (- x - 7) (x + 5) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Paso 5.8.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- x - 7) (x + 5) \cdot - 3}{4 x (- x - 5) (- x - 7)}$

Paso 5.8.5

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1 (x + 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Paso 5.9

Cancela el factor común de $x + 5$ y $- x - 5$ .

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Paso 5.9.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) + 5) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Paso 5.9.2

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (- 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Paso 5.9.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x - 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Paso 5.9.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- 1 (- x - 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Paso 5.9.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot - 3}{4 x}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 \cdot - 3}{4 x}$

Paso 6.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{- 3}{4 x}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4 x}$