Álgebra Ejemplos

$\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $arccsc ({(2)}^{- 1})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Por lo tanto, $\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$ es $\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$ .

$\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(2^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{- 1 \cdot 2} - 1} \cdot 2$

Paso 2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{2^{- 2} - 1} \cdot 2$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - 1} \cdot 2$

Paso 4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1} \cdot 2$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{1 - 4}{4}} \cdot 2$

Paso 8.2

Resta $4$ de $1$ .

$\sqrt{\frac{- 3}{4}} \cdot 2$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{- \frac{3}{4}} \cdot 2$

Paso 10

Reescribe $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Paso 10.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{3}{4}} \cdot 2$

Paso 10.2

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}} \cdot 2$

Paso 10.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}} \cdot 2$

Paso 10.4

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)} \cdot 2$

Paso 10.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3} \cdot 2$

Paso 11

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{i}{2} \sqrt{3} \cdot 2$

Paso 12

Combina $\frac{i}{2}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Paso 13

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1

Cancela el factor común.

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Paso 13.2

Reescribe la expresión.

$i \sqrt{3}$