Álgebra Ejemplos

$\log_{7} (2 x^{2} - 2) - \log_{7} (x + 1) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{2 x^{2} - 2}{x + 1}) = 1$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2}) - 2}{x + 1}) = 1$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{x + 1}) = 1$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2} - 1)}{x + 1}) = 1$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{x + 1}) = 1$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) = 1$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\log_{7} (\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) = 1$

Paso 1.3.1.2

Divide $2 (x - 1)$ por $1$ .

$\log_{7} (2 (x - 1)) = 1$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{7} (2 x + 2 \cdot - 1) = 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\log_{7} (2 x - 2) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{7} (2 x - 2) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{1} = 2 x - 2$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 x - 2 = 7^{1}$ .

$2 x - 2 = 7$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 7 + 2$

Paso 3.2.2

Suma $7$ y $2$ .

$2 x = 9$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x = 9$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x = 9$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{9}{2}$

Forma decimal:

$x = 4.5$

Forma de número mixto:

$x = 4 \frac{1}{2}$