Álgebra Ejemplos

$\frac{36 - x^{2}}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \div \frac{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{36 - x^{2}}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{6^{2} - x^{2}}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 6$ y $b = x$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 2 x - 48$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 48$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 8, 6$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 48 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $- 48 x$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 48} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 4.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 48} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 4.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 48$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x^{2} - 2 x - 48)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 48$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 48$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 8, 6$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x ((x - 8) (x + 6))} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $6 - x$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5.1.2

Divide $6 + x$ por $1$ .

$(6 + x) \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x - 8$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$(6 + x) \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$(6 + x) \cdot \frac{x + 6}{x (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$(6 + x) \cdot \frac{x + 6}{x (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$(6 + x) \cdot \frac{1}{x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 5.4

Multiplica $6 + x$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 9 x^{2} - 10 x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 9 x) - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 6.1.3

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 9 x) + x \cdot - 10}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 6.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 9 x)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x^{2} - 9 x) + x \cdot - 10}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 6.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 9 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x^{2} - 9 x - 10)}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 6.2

Factoriza $x^{2} - 9 x - 10$ con el método AC.

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Paso 6.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 10, 1$

Paso 6.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x ((x - 10) (x + 1))}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2}) + 14 x^{2} + 12 x}$

Paso 7.1.2

Factoriza $2 x$ de $14 x^{2}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2}) + 2 x (7 x) + 12 x}$

Paso 7.1.3

Factoriza $2 x$ de $12 x$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2}) + 2 x (7 x) + 2 x (6)}$

Paso 7.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (7 x)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2} + 7 x) + 2 x (6)}$

Paso 7.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2} + 7 x) + 2 x (6)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2} + 7 x + 6)}$

Paso 7.2

Factoriza $x^{2} + 7 x + 6$ con el método AC.

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Paso 7.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $7$ .

$1, 6$

Paso 7.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x ((x + 1) (x + 6))}$

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $x$ de $x (x - 10) (x + 1)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x ((x - 10) (x + 1))}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x ((x - 10) (x + 1))}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Paso 8.1.3

Reescribe la expresión.

$(6 + x) \frac{(x - 10) (x + 1)}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$(6 + x) \frac{(x - 10) (x + 1)}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$(6 + x) \frac{x - 10}{2 x (x + 6)}$

Paso 8.3

Multiplica $6 + x$ por $\frac{x - 10}{2 x (x + 6)}$ .

$\frac{(6 + x) (x - 10)}{2 x (x + 6)}$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $6 + x$ y $x + 6$ .

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Paso 8.4.1

Reordena los términos.

$\frac{(x + 6) (x - 10)}{2 x (x + 6)}$

Paso 8.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 6) (x - 10)}{2 x (x + 6)}$

Paso 8.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 10}{2 x}$