Álgebra Ejemplos

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.5

Multiplica $10$ por $1$ .

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.7

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.9

Multiplica $10$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.10

Factoriza $i^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.12

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.13

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.14

Multiplica $5$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.15

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.15.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.15.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.15.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.16

Multiplica $5$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.17

Factoriza $i^{4}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.18

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.18.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.18.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.18.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.1.19

Multiplica $i$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Resta $10$ de $1$ .

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.2.2

Suma $- 9$ y $5$ .

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.2.3

Resta $10 i$ de $5 i$ .

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 2.2.4

Suma $- 5 i$ y $i$ .

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

Paso 3

Usa el teorema del binomio.

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.7

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.9

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.11

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.13

Multiplica $10$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.14

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.20

Multiplica $i$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.21

Multiplica $5$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.22

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.23

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.24

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.25

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 4.1.25.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.25.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.25.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.26

Multiplica $5$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

Paso 4.1.27

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

Paso 4.1.28

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

Paso 4.1.29

Factoriza $i^{4}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

Paso 4.1.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 4.1.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

Paso 4.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

Paso 4.1.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

Paso 4.1.31

Multiplica $i$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Resta $10$ de $1$ .

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

Paso 4.2.2

Suma $- 9$ y $5$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

Paso 4.2.3

Suma $- 5 i$ y $10 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

Paso 4.2.4

Resta $i$ de $5 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

Paso 5

Expande $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Paso 6.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 4 i (4 i)$ .

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

Paso 6.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

Paso 6.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

Paso 6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

Paso 6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

Paso 6.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i + 16$

Paso 6.2

Suma $16$ y $16$ .

$32 - 16 i + 16 i$

Paso 6.3

Suma $- 16 i$ y $16 i$ .

$32 + 0$

Paso 6.4

Suma $32$ y $0$ .

$32$