Álgebra Ejemplos

$4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Divide cada término en $4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 \log_{x} (\sqrt{2})}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \log_{x} (\sqrt{2})}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Paso 1.2.1.2

Divide $\log_{x} (\sqrt{2})$ por $1$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{8}$

Paso 2

Reescribe $\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{8}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{\frac{1}{8}} = \sqrt{2}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $8$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{8}})}^{8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Paso 3.2

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Paso 3.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {\sqrt{2}}^{8}$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {\sqrt{2}}^{8}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica ${\sqrt{2}}^{8}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{8}$ como $2^{4}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{2}})}^{8}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{2} \cdot 8}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$x = 2^{\frac{8}{2}}$

Paso 3.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

Paso 3.2.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}$

Paso 3.2.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}$

Paso 3.2.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 2^{\frac{4}{1}}$

Paso 3.2.2.1.1.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$x = 2^{4}$

Paso 3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$x = 16$