Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{2} - 324}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \div \frac{9 - x}{25 - x^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 x^{2} - 324}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 324$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 324}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $- 324$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 81}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 81$ .

$\frac{4 (x^{2} - 81)}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 2.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 9^{2})}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 9$ .

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{x^{2} + 4 x - 45} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 4 x - 45$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 45$ y cuya suma es $4$ .

$- 5, 9$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{- x^{2} - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} - 5 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x) - 5 x} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x) + x \cdot - 5} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 4.1.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot - 5$ .

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x + 9$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x + 9)} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x - 9)}{x - 5} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)} \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 5

Multiplica $\frac{4 (x - 9)}{x - 5} \cdot \frac{4}{x (- x - 5)}$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{4 (x - 9)}{x - 5}$ por $\frac{4}{x (- x - 5)}$ .

$\frac{4 (x - 9) \cdot 4}{(x - 5) (x (- x - 5))} \cdot \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 5.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) (x (- x - 5))} \cdot \frac{25 - x^{2}}{9 - x}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) x (- x - 5)} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{9 - x}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) x (- x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{9 - x}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{16 (x - 9)}{(x - 5) x (- x - 5)}$ por $\frac{(5 + x) (5 - x)}{9 - x}$ .

$\frac{16 (x - 9) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x - 9$ y $9 - x$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{16 (- 1 (- x) - 9) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Paso 7.2.2

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{16 (- 1 (- x) - 1 (9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Paso 7.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (9)$ .

$\frac{16 (- 1 (- x + 9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (9 - x)}$

Paso 7.2.4

Reordena los términos.

$\frac{16 (- 1 (- x + 9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (- x + 9)}$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{16 (- 1 (- x + 9)) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5) (- x + 9)}$

Paso 7.2.6

Reescribe la expresión.

$\frac{16 \cdot (- 1) ((5 + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $5 + x$ y $- x - 5$ .

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Paso 7.3.1

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{16 \cdot (- 1) ((- 1 (- 5) + x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Paso 7.3.2

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{16 \cdot (- 1) ((- 1 (- 5) - 1 (- x)) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Paso 7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 5) - 1 (- x)$ .

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 5 - x) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Paso 7.3.4

Reordena los términos.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- x - 5) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Paso 7.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- x - 5) (5 - x))}{(x - 5) x (- x - 5)}$

Paso 7.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (5 - x))}{(x - 5) x}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $5 - x$ y $x - 5$ .

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Paso 7.4.1

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (- 5) - x))}{(x - 5) x}$

Paso 7.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (- 5) - (x)))}{(x - 5) x}$

Paso 7.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (- 5 + x)))}{(x - 5) x}$

Paso 7.4.4

Reordena los términos.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (x - 5)))}{(x - 5) x}$

Paso 7.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 (- 1 (x - 5)))}{(x - 5) x}$

Paso 7.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{16 \cdot (- 1) (- 1 \cdot (- 1))}{x}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{- 16 (- 1 \cdot (- 1))}{x}$

Paso 8.2

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{x}$

Paso 8.3

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{- 16}{x}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{x}$