Álgebra Ejemplos

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Paso 1

Establece $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ igual a $0$ .

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} + 125$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.2.2

Reescribe $125$ como $- 1 (- 125)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ .

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $15 x$ de $15 x^{2} - 75 x$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $15 x$ de $15 x^{2}$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

Paso 2.1.6.2

Factoriza $15 x$ de $- 75 x$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

Paso 2.1.6.3

Factoriza $15 x$ de $15 x (x) + 15 x (- 5)$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x - 5$ de $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x - 5$ de $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x - 5$ de $15 x (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $x - 5$ de $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

Paso 2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Paso 2.1.9

Simplifica.

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Paso 2.1.9.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Paso 2.1.9.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Paso 2.1.9.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

Paso 2.1.10

Suma $- 5 x$ y $15 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza.

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Paso 2.1.11.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.11.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 2.1.11.1.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Paso 2.1.11.1.1.2

Reescribe $10$ como $5$ más $5$

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Paso 2.1.11.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Paso 2.1.11.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.11.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Paso 2.1.11.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Paso 2.1.11.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 5$ .

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 2.1.11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12

Combina exponentes.

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Paso 2.1.12.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.4

Eleva $- x + 5$ a la potencia de $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.5

Eleva $- x + 5$ a la potencia de $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.7

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.8

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.9

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.10

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.11

Reescribe $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.12

Aplica la regla del producto a $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.14

Multiplica ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 2.1.12.15

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Paso 2.1.12.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

Paso 2.1.12.17

Suma $1$ y $2$ .

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Divide ${(x - 5)}^{3}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{3} = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$ (Multiplicidad de $3$ )

Paso 3