Álgebra Ejemplos

$2 \log (x) < \log (2 - x)$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$2 \log (x) = \log (2 - x)$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica $2 \log (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log (x^{2}) = \log (2 - x)$

Paso 2.2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{2} = 2 - x$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x = 2$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 2 = 0$

Paso 2.3.3

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 2.3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.3.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log (\frac{x^{2}}{2 - x})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log (\frac{x^{2}}{2 - x})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x^{2}}{2 - x} > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 3.2.5

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.5.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 3.2.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 2$

Paso 3.2.7

Consolida las soluciones.

$x = 0, 2$

Paso 3.2.8

Obtén el dominio de $\frac{x^{2}}{2 - x}$ .

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Paso 3.2.8.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{2 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 - x = 0$

Paso 3.2.8.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.8.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 3.2.8.2.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.8.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.8.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.8.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.2.8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.8.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 3.2.8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 3.2.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 3.2.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 3.2.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{2 - (- 2)} > 0$

Paso 3.2.10.1.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 3.2.10.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{{(1)}^{2}}{2 - (1)} > 0$

Paso 3.2.10.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 3.2.10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2}}{2 - (4)} > 0$

Paso 3.2.10.3.3

$- 8$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 3.2.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $0 < x < 2$

Paso 3.3

Establece el denominador en $\frac{x^{2}}{2 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 - x = 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 2$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Paso 3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$2 \log (- 4) < \log (2 - (- 4))$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 \log (0) < \log (2 - (0))$

Paso 5.2.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.2.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.2.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 \log (4) < \log (2 - (4))$

Paso 5.3.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.3.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.3.3.2

El lado derecho no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Paso 6

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución