Álgebra Ejemplos

$\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}} = 32^{x + 3}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}$ como ${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{1} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(32^{x + 3})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{(x + 3) \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{x \cdot 2 + 3 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 \cdot x + 3 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Mueve $2^{x}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$8^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{3})}^{x - 1}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (x - 1)} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{3 x + 3 \cdot - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2^{3 x - 3} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{3 x - 3 - x} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.5

Resta $x$ de $3 x$ .

$2^{2 x - 3} = 32^{2 x + 6}$

Paso 3.6

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{2 x - 3} = 2^{5 (2 x + 6)}$

Paso 3.7

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Paso 3.8

Resuelve $x$

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Paso 3.8.1

Simplifica $5 (2 x + 6)$ .

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Paso 3.8.1.1

Reescribe.

$2 x - 3 = 0 + 0 + 5 (2 x + 6)$

Paso 3.8.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Paso 3.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 3 = 5 (2 x) + 5 \cdot 6$

Paso 3.8.1.4

Multiplica.

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Paso 3.8.1.4.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 x - 3 = 10 x + 5 \cdot 6$

Paso 3.8.1.4.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$2 x - 3 = 10 x + 30$

Paso 3.8.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.8.2.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - 3 - 10 x = 30$

Paso 3.8.2.2

Resta $10 x$ de $2 x$ .

$- 8 x - 3 = 30$

Paso 3.8.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.8.3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- 8 x = 30 + 3$

Paso 3.8.3.2

Suma $30$ y $3$ .

$- 8 x = 33$

Paso 3.8.4

Divide cada término en $- 8 x = 33$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.1

Divide cada término en $- 8 x = 33$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Paso 3.8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 3.8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Paso 3.8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{33}{- 8}$

Paso 3.8.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{33}{8}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{33}{8}$

Forma decimal:

$x = - 4.125$

Forma de número mixto:

$x = - 4 \frac{1}{8}$