Álgebra Ejemplos

$3 \frac{x}{2} + 3 | x - 2 | \leq 3$

Paso 1

Escribe $3 (\frac{x}{2}) + 3 | x - 2 | \leq 3$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x - 2 \geq 0$

Paso 1.2

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 2$

Paso 1.3

En la parte donde $x - 2$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$3 (\frac{x}{2}) + 3 (x - 2) \leq 3$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x - 2 < 0$

Paso 1.5

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 2$

Paso 1.6

En la parte donde $x - 2$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} 3 (\frac{x}{2}) + 3 (x - 2) \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $3 (\frac{x}{2}) + 3 (x - 2) \leq 3$ .

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Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1.1

Combina $3$ y $\frac{x}{2}$ .

${\begin{cases} \frac{3 x}{2} + 3 (x - 2) \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} \frac{3 x}{2} + 3 x + 3 \cdot - 2 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

${\begin{cases} \frac{3 x}{2} + 3 x - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.2

Para escribir $3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} \frac{3 x}{2} + 3 x \cdot \frac{2}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.3

Combina $3 x$ y $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} \frac{3 x}{2} + \frac{3 x \cdot 2}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\begin{cases} \frac{3 x + 3 x \cdot 2}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.5.1

Factoriza $3 x$ de $3 x + 3 x \cdot 2$ .

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Paso 1.8.5.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x$ .

${\begin{cases} \frac{3 x (1) + 3 x \cdot 2}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.5.1.2

Factoriza $3 x$ de $3 x \cdot 2$ .

${\begin{cases} \frac{3 x (1) + 3 x (2)}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.5.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (1) + 3 x (2)$ .

${\begin{cases} \frac{3 x (1 + 2)}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.5.2

Suma $1$ y $2$ .

${\begin{cases} \frac{3 x \cdot 3}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.8.5.3

Multiplica $3$ por $3$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ 3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9

Simplifica $3 (\frac{x}{2}) + 3 (- (x - 2)) \leq 3$ .

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Paso 1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1.1

Combina $3$ y $\frac{x}{2}$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} + 3 (- (x - 2)) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} + 3 (- x - - 2) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} + 3 (- x + 2) \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} + 3 (- x) + 3 \cdot 2 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} - 3 x + 3 \cdot 2 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.1.6

Multiplica $3$ por $2$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} - 3 x + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.2

Para escribir $- 3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} - 3 x \cdot \frac{2}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.3

Combina $- 3 x$ y $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x - 3 x \cdot 2}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.9.5.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x - 3 x \cdot 2$ .

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Paso 1.9.5.1.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x (1) - 3 x \cdot 2}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5.1.1.2

Factoriza $3 x$ de $- 3 x \cdot 2$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x (1) + 3 x (- 1 \cdot 2)}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5.1.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (1) + 3 x (- 1 \cdot 2)$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x (1 - 1 \cdot 2)}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x (1 - 2)}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5.1.3

Resta $2$ de $1$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{3 x \cdot - 1}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ \frac{- 3 x}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 1.9.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${\begin{cases} \frac{9 x}{2} - 6 \leq 3 & x \geq 2 \\ - \frac{3 x}{2} + 6 \leq 3 & x < 2 \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $\frac{9 x}{2} - 6 \leq 3$ cuando $x \geq 2$ .

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{9 x}{2} - 6 \leq 3$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1.1

Suma $6$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{9 x}{2} \leq 3 + 6$

Paso 2.1.1.2

Suma $3$ y $6$ .

$\frac{9 x}{2} \leq 9$

Paso 2.1.2

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{9 x}{2} \cdot 2 \leq 9 \cdot 2$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{2} \cdot 2 \leq 9 \cdot 2$

Paso 2.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$9 x \leq 9 \cdot 2$

Paso 2.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.2.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$9 x \leq 18$

Paso 2.1.4

Divide cada término en $9 x \leq 18$ por $9$ y simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Divide cada término en $9 x \leq 18$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} \leq \frac{18}{9}$

Paso 2.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.4.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} \leq \frac{18}{9}$

Paso 2.1.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{18}{9}$

Paso 2.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.4.3.1

Divide $18$ por $9$ .

$x \leq 2$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x \leq 2$ y $x \geq 2$ .

$x = 2$

Paso 3

Resuelve $- \frac{3 x}{2} + 6 \leq 3$ cuando $x < 2$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- \frac{3 x}{2} + 6 \leq 3$ en $x$ .

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Paso 3.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1.1

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{3 x}{2} \leq 3 - 6$

Paso 3.1.1.2

Resta $6$ de $3$ .

$- \frac{3 x}{2} \leq - 3$

Paso 3.1.2

Divide cada término en $- \frac{3 x}{2} \leq - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide cada término de $- \frac{3 x}{2} \leq - 3$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \frac{3 x}{2}}{- 1} \geq \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{3 x}{2}}{1} \geq \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Divide $\frac{3 x}{2}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2} \geq \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x}{2} \geq 3$

Paso 3.1.3

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{3 x}{2} \cdot 2 \geq 3 \cdot 2$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{2} \cdot 2 \geq 3 \cdot 2$

Paso 3.1.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$3 x \geq 3 \cdot 2$

Paso 3.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.4.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 x \geq 6$

Paso 3.1.5

Divide cada término en $3 x \geq 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Divide cada término en $3 x \geq 6$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{6}{3}$

Paso 3.1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{6}{3}$

Paso 3.1.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{6}{3}$

Paso 3.1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.5.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$x \geq 2$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x \geq 2$ y $x < 2$ .

No hay solución

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$x = 2$

Paso 5